Considers o operador linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} depinide por T(x, y, z)=(x+2 y+2 z, x+2 y-z,-x+y+4 z)
a) Determine o vetor u \in R^{3} tal que T(u)=(-1, b,-11)
b) Determina o vetor V \in R^{3} tal que T(v)=v

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+2y+2z,\;x+2y-z,\;-x+y+4z).
As perguntas são:
  • (a) Determinar o vetor u\in\mathbb{R}^3 tal que T(u)=(-1,b,-11), onde b é um número real dado.
  • (b) Determinar os vetores v\in\mathbb{R}^3 que satisfazem T(v)=v (isto é, os vetores que são enviados em si mesmos).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão componente a componente de T: primeira componente x+2y+2z, segunda x+2y-z, terceira -x+y+4z.
  • No item (a) o segundo componente do vetor imagem é um parâmetro b.
  • No item (b) pede-se resolver T(v)=v, equivalente a resolver um sistema homogêneo.

Passo 2

Primeiro é útil escrever T como multiplicação por uma matriz na base canônica. Se v=(x,y,z) então
T(x,y,z)= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 2 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}.
Vou chamar essa matriz de
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 2 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Explicação curta: uma transformação linear T enviada sobre vetores da forma (x,y,z) pode sempre ser escrita como T(v)=A v, onde cada linha de A são os coeficientes das componentes de T.]

Passo 3

Resolver (a): coloque u=(x,y,z) e escreva o sistema linear
A\begin{pmatrix}x\\\ y\\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ b\\\\ -11\end{pmatrix}.
Isto equivale ao sistema de equações
\begin{cases} x+2y+2z=-1,\\[4pt] x+2y-z=b,\\[4pt] - x + y +4z=-11. \end{cases}
Vou resolver este sistema por eliminação de Gauss, montando a matriz aumentada inicial:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & -1\\[4pt] 1 & 2 & -1 & b\\[4pt] -1 & 1 & 4 & -11 \end{array}\right).]

Passo 4

Aplicando operações de linha para triangularizar (vou explicar cada operação):
  1. R_2 \leftarrow R_2 - R_1 para eliminar a entrada 1 na coluna 1 da segunda linha:
R_2 = (1-1,\;2-2,\;-1-2,\;b-(-1))=(0,0,-3,b+1).
  1. R_3 \leftarrow R_3 + R_1 para eliminar a entrada -1 na coluna 1 da terceira linha:
R_3 = (-1+1,\;1+2,\;4+2,\;-11+(-1))=(0,3,6,-12).
Agora a matriz aumentada é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -3 & b+1\\[4pt] 0 & 3 & 6 & -12 \end{array}\right).
  1. Troco R_2 e R_3 (para ter pivô na coluna 2):
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 3 & 6 & -12\\[4pt] 0 & 0 & -3 & b+1 \end{array}\right).
  1. Divido R_2 por 3 para obter pivô 1 na coluna 2:
R_2 \leftarrow \frac{1}{3}R_2 \Rightarrow (0,1,2,-4).
A matriz fica
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -4\\[4pt] 0 & 0 & -3 & b+1 \end{array}\right).]

Passo 5

Continuo a eliminação e faço substituição para obter as incógnitas:
  1. Elimino o 2 na coluna 2 da primeira linha: R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
    Cálculo: primeira linha fica (1,\;2-2,\;2-4,\;-1-2(-4))=(1,0,-2,7).
    A matriz agora é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & 7\\[4pt] 0 & 1 & 2 & -4\\[4pt] 0 & 0 & -3 & b+1 \end{array}\right).
  1. Da terceira linha temos -3z=b+1. Portanto
z=-\frac{b+1}{3}.
  1. Substituindo em R_2 (que corresponde a y+2z=-4) obtemos
y=-4-2z=-4-2\Big(-\frac{b+1}{3}\Big)=-4+\frac{2(b+1)}{3}.
Colocando em forma única (denominador 3):
y=\frac{-12+2(b+1)}{3}=\frac{2b-10}{3}=\frac{2(b-5)}{3}.
  1. Em R_1 (que corresponde a x-2z=7) obtemos
x=7+2z=7+2\Big(-\frac{b+1}{3}\Big)=\frac{21-2(b+1)}{3}=\frac{19-2b}{3}.
Comentário: o sistema é consistente para todo b\in\mathbb{R} e fornece uma solução única (x,y,z) em função de b.]

Passo 6

Agora (b): queremos vetores v tais que T(v)=v. Em termos matriciais isso é
A v = v \quad\Longleftrightarrow\quad (A-I)v=0,
onde I é a matriz identidade 3\times3. Resolver isso é encontrar o núcleo (nullspace) de A-I, isto é, os autovetores associados ao autovalor 1.
Calcule A-I:
A-I=\begin{pmatrix} 1-1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 2-1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Resolver o sistema homogêneo (A-I)v=0\). Escrevendo \(v=(x,y,z)\), as equações são \[\begin{cases} 2y+2z=0,\\[4pt] x+y-z=0,\\[4pt] - x + y +3z=0. \end{cases}
Simplifico a primeira equação dividindo por 2\]: \[y+z=0 \quad\Rightarrow\quad y=-z.\] Substituo \(y=-z na segunda equação x+y-z=0:
x + (-z) - z =0 \quad\Rightarrow\quad x -2z=0 \quad\Rightarrow\quad x=2z.
Verifico consistência com a terceira equação: com y=-z e x=2z,
- x + y +3z = -2z + (-z) +3z =0,
portanto é consistente. Logo a solução geral é
(x,y,z)=(2z,-z,z)=z(2,-1,1),\qquad z\in\mathbb{R}.
Isto significa que o espaço de soluções (autovetores para o autovalor 1) é a reta gerada por (2,-1,1). O vetor nulo v=0 também é solução trivial; geralmente quando falamos de autovetores consideramos vetores não nulos, então qualquer múltiplo não nulo de (2,-1,1) é uma boa escolha.]

Resposta

(a) u=\displaystyle\Big(\frac{19-2b}{3},\;\frac{2(b-5)}{3},\;-\frac{b+1}{3}\Big)
(b) v=t\,(2,-1,1),\quad t\in\mathbb{R} (ou seja, v é qualquer múltiplo de (2,-1,1)).

Exercícios relacionados