Considers o operador linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} depinide por T(x, y, z)=(x+2 y+2 z, x+2 y-z,-x+y+4 z)
a) Determine o vetor u \in R^{3} tal que T(u)=(-1, b,-11)
b) Determina o vetor V \in R^{3} tal que T(v)=v
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+2y+2z,\;x+2y-z,\;-x+y+4z).
As perguntas são:
(a) Determinar o vetor u\in\mathbb{R}^3 tal que T(u)=(-1,b,-11), onde b é um número real dado.
(b) Determinar os vetores v\in\mathbb{R}^3 que satisfazem T(v)=v (isto é, os vetores que são enviados em si mesmos).
Informações relevantes fornecidas:
A expressão componente a componente de T: primeira componente x+2y+2z, segunda x+2y-z, terceira -x+y+4z.
No item (a) o segundo componente do vetor imagem é um parâmetro b.
No item (b) pede-se resolver T(v)=v, equivalente a resolver um sistema homogêneo.
Passo 2
Primeiro é útil escrever T como multiplicação por uma matriz na base canônica. Se v=(x,y,z) então
Explicação curta: uma transformação linear T enviada sobre vetores da forma (x,y,z) pode sempre ser escrita como T(v)=A v, onde cada linha de A são os coeficientes das componentes de T.]
Passo 3
Resolver (a): coloque u=(x,y,z) e escreva o sistema linear
Continuo a eliminação e faço substituição para obter as incógnitas:
Elimino o 2 na coluna 2 da primeira linha: R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
Cálculo: primeira linha fica (1,\;2-2,\;2-4,\;-1-2(-4))=(1,0,-2,7).
A matriz agora é
Resolver o sistema homogêneo (A-I)v=0\). Escrevendo \(v=(x,y,z)\), as equações são
\[\begin{cases} 2y+2z=0,\\[4pt] x+y-z=0,\\[4pt] - x + y +3z=0. \end{cases}
Simplifico a primeira equação dividindo por 2\]:
\[y+z=0 \quad\Rightarrow\quad y=-z.\]
Substituo \(y=-z na segunda equação x+y-z=0:
x + (-z) - z =0 \quad\Rightarrow\quad x -2z=0 \quad\Rightarrow\quad x=2z.
Verifico consistência com a terceira equação: com y=-z e x=2z,
Isto significa que o espaço de soluções (autovetores para o autovalor 1) é a reta gerada por (2,-1,1). O vetor nulo v=0 também é solução trivial; geralmente quando falamos de autovetores consideramos vetores não nulos, então qualquer múltiplo não nulo de (2,-1,1) é uma boa escolha.]