Usando (6), obtenha a solução de (1) na forma de integral satisfazende à condição inicial u(x, 0)=f(x) onde:
f(x)=x se |x|<1 e 0 nos demais casos

Passo 1

O enunciado pede: usando (6)\), obter a solução de \((1)\) na forma de integral que satisfaça a condição inicial \(u(x,0)=f(x)\), onde \[f(x)=\begin{cases} x, & |x|<1,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Informações fornecidas no enunciado:
  • A condição inicial u(x,0)=f(x)\] com \(f dada acima.
Informações que faltam (são cruciais para resolver o problema):
  • O que é exatamente a equação (1) (por exemplo: equação do calor, onda, outra PDE?).
  • O que representa a fórmula (6) (por exemplo: núcleo fundamental / solução fundamental, fórmula de D’Alembert, fórmula de Poisson, etc.).
Sem conhecer a forma de (1) e (6) não há como escrever a solução correta específica. Vou, no entanto, assumir um caso muito comum e didaticamente útil: que (1) é a equação do calor unidimensional
u_t = k\,u_{xx},
com k>0 constante, e que (6) é a expressão do núcleo fundamental (heat kernel)
G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\,e^{-x^{2}/(4kt)}.
Se essa suposição não for a que o seu enunciado tinha em (1) e (6), me avisa (mas não pergunto nada agora — parto dessa hipótese porque é o caso padrão onde se usa um núcleo fundamental e obtém-se uma solução por convolução).]

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
  • A equação do calor linear em \mathbb{R} com condição inicial u(x,0)=f(x) tem solução dada pela convolução da condição inicial com o núcleo fundamental do calor. Isso vem de resolver a PDE por transformada de Fourier ou por propriedades do operador de difusão.
  • A fórmula de solução é
u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)\,f(y)\,dy,
onde G é o núcleo fundamental. Aqui G(x-y,t) tem interpretação física: é a distribuição de calor iniciada em um ponto e propagada até o tempo t.
O que cada símbolo significa:
  • u(x,t): solução procurada (temperatura, por exemplo) no ponto x e tempo t.
  • k: difusividade térmica (constante positiva).
  • G(x,t)=\dfrac{1}{\sqrt{4\pi k t}}e^{-x^{2}/(4kt)}: kernel do calor em 1D.
  • f(y): condição inicial em y.
  • A integral convolui f com G, somando as contribuições de cada ponto inicial y para o ponto x no tempo t.

Passo 3

Aplicando a fórmula de convolução à nossa condição inicial f (que tem suporte em [-1,1] e vale y nessa faixa), obtemos a representação integral imediata:
u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\,e^{-(x-y)^{2}/(4kt)}\,f(y)\,dy =\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{-1}^{1} e^{-(x-y)^{2}/(4kt)}\,y\,dy.
Esta é exatamente a solução na forma de integral pedida (assumindo a hipótese do núcleo do calor). Agora vamos calcular essa integral para obter uma forma explícita em termos da função erro \operatorname{erf}, o que é útil e dá uma expressão fechada.

Passo 4

Cálculo da integral passo a passo. Defina a integral
I(x,t):=\int_{-1}^{1} y\,e^{-(x-y)^{2}/(4kt)}\,dy.
Fazemos a substituição (padrão para núcleo gaussiano)
u=\frac{x-y}{2\sqrt{kt}},\qquad \text{então}\qquad y=x-2\sqrt{kt}\,u,\qquad dy=-2\sqrt{kt}\,du.ã
Quando y=-1 temos u_1=\dfrac{x+1}{2\sqrt{kt}}. Quando y=1 temos u_2=\dfrac{x-1}{2\sqrt{kt}}.
Assim,
I(x,t)=\int_{u_1}^{u_2} \bigl(x-2\sqrt{kt}\,u\bigr)\,e^{-u^{2}}\bigl(-2\sqrt{kt}\bigr)\,du.
Troca de sinais e organização:
I(x,t)=2\sqrt{kt}\int_{u_2}^{u_1} \bigl(x-2\sqrt{kt}\,u\bigr)\,e^{-u^{2}}\,du.
Separe em duas integrais:
I(x,t)=2\sqrt{kt}\,x\int_{u_2}^{u_1} e^{-u^{2}}\,du - 4kt\int_{u_2}^{u_1} u\,e^{-u^{2}}\,du.

Passo 5

Avaliação das duas integrais conhecidas:
  • A integral gaussiana sem fator u:
\int_{u_2}^{u_1} e^{-u^{2}}\,du=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\bigl(\operatorname{erf}(u_1)-\operatorname{erf}(u_2)\bigr).
(Lembrete: \operatorname{erf}(z)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z}e^{-s^{2}}\,ds.)
  • A integral com u:
\int_{u_2}^{u_1} u\,e^{-u^{2}}\,du=\left[-\tfrac{1}{2}e^{-u^{2}}\right]_{u_2}^{u_1}=-\tfrac{1}{2}\bigl(e^{-u_1^{2}}-e^{-u_2^{2}}\bigr).
Substituindo em I(x,t):
\begin{aligned} I(x,t) &=2\sqrt{kt}\,x\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}\bigl(\operatorname{erf}(u_1)-\operatorname{erf}(u_2)\bigr) -4kt\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\bigl(e^{-u_1^{2}}-e^{-u_2^{2}}\bigr)\right)\\[6pt] &=x\sqrt{\pi}\sqrt{kt}\,\bigl(\operatorname{erf}(u_1)-\operatorname{erf}(u_2)\bigr)+2kt\bigl(e^{-u_1^{2}}-e^{-u_2^{2}}\bigr). \end{aligned}]

Passo 6

Agora coloque I(x,t) na expressão de u(x,t):
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\,I(x,t).
Substituindo I(x,t) e simplificando \sqrt{kt}/\sqrt{4\pi kt}=1/(2\sqrt{\pi}) e 2kt/\sqrt{4\pi kt}=1/(2\sqrt{\pi})\cdot 2\sqrt{kt} — fazendo a simplificação cuidadosamente chega-se a uma forma mais simples. O resultado final, usando
u_1=\frac{x+1}{2\sqrt{kt}},\qquad u_2=\frac{x-1}{2\sqrt{kt}},
é
u(x,t)=\frac{x}{2}\bigl(\operatorname{erf}(u_1)-\operatorname{erf}(u_2)\bigr) +\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\bigl(e^{-u_1^{2}}-e^{-u_2^{2}}\bigr).
Verificação rápida (intuição): quando t\to 0^{+} as funções \operatorname{erf} e os exponenciais nas combinações acima reproduzem u(x,0)=f(x) (por exemplo, para |x|<1 obtém-se limite x, e para |x|>1 obtém-se 0).

Resposta

\boxed{\,u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{-1}^{1} e^{-\dfrac{(x-y)^{2}}{4kt}}\,y\,dy\,}
\boxed{\,u(x,t)=\frac{x}{2}\Bigl(\operatorname{erf}\!\Bigl(\frac{x+1}{2\sqrt{kt}}\Bigr)-\operatorname{erf}\!\Bigl(\frac{x-1}{2\sqrt{kt}}\Bigr)\Bigr) +\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\Bigl(e^{-\dfrac{(x+1)^{2}}{4kt}}-e^{-\dfrac{(x-1)^{2}}{4kt}}\Bigr)\,}
(As duas expressões acima são equivalentes; a primeira é a forma integral pedida e a segunda é a forma explícita em termos de \operatorname{erf}. Estas fórmulas foram obtidas supondo que (1) é a equação do calor u_t=k\,u_{xx} e que (6) é o núcleo fundamental G(x,t)=\dfrac{1}{\sqrt{4\pi k t}}e^{-x^{2}/(4kt)}. Se (1) e (6) forem outras fórmulas, envie-as que eu refaço os passos correspondentes.)

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