Usando (6), obtenha a solução de (1) na forma de integral satisfazende à condição inicial
onde:
se
e 0 nos demais casos
Passo 1
O enunciado pede: usando
Informações fornecidas no enunciado:
- A condição inicial dada acima.
Informações que faltam (são cruciais para resolver o problema):
- O que é exatamente a equação
(por exemplo: equação do calor, onda, outra PDE?). - O que representa a fórmula
(por exemplo: núcleo fundamental / solução fundamental, fórmula de D’Alembert, fórmula de Poisson, etc.).
Sem conhecer a forma de
e
não há como escrever a solução correta específica. Vou, no entanto, assumir um caso muito comum e didaticamente útil: que
é a equação do calor unidimensional
com
constante, e que
é a expressão do núcleo fundamental (heat kernel)
Se essa suposição não for a que o seu enunciado tinha em
e
, me avisa (mas não pergunto nada agora — parto dessa hipótese porque é o caso padrão onde se usa um núcleo fundamental e obtém-se uma solução por convolução).]
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
- A equação do calor linear em
com condição inicial tem solução dada pela convolução da condição inicial com o núcleo fundamental do calor. Isso vem de resolver a PDE por transformada de Fourier ou por propriedades do operador de difusão. - A fórmula de solução é
onde
é o núcleo fundamental. Aqui
tem interpretação física: é a distribuição de calor iniciada em um ponto e propagada até o tempo
.
O que cada símbolo significa:
-
: solução procurada (temperatura, por exemplo) no ponto e tempo . -
: difusividade térmica (constante positiva). -
: kernel do calor em 1D. -
: condição inicial em . - A integral convolui
com , somando as contribuições de cada ponto inicial para o ponto no tempo .
Passo 3
Aplicando a fórmula de convolução à nossa condição inicial
(que tem suporte em
e vale
nessa faixa), obtemos a representação integral imediata:
Esta é exatamente a solução na forma de integral pedida (assumindo a hipótese do núcleo do calor). Agora vamos calcular essa integral para obter uma forma explícita em termos da função erro
, o que é útil e dá uma expressão fechada.
Passo 4
Cálculo da integral passo a passo. Defina a integral
Fazemos a substituição (padrão para núcleo gaussiano)
Quando
temos
. Quando
temos
.
Assim,
Assim,
Troca de sinais e organização:
Separe em duas integrais:
Passo 5
Avaliação das duas integrais conhecidas:
- A integral gaussiana sem fator
:
(Lembrete:
.)
- A integral com
:
Substituindo em
:
Passo 6
Agora coloque
na expressão de
:
Substituindo
e simplificando
e
— fazendo a simplificação cuidadosamente chega-se a uma forma mais simples. O resultado final, usando
é
Verificação rápida (intuição): quando
as funções
e os exponenciais nas combinações acima reproduzem
(por exemplo, para
obtém-se limite
, e para
obtém-se
).
Resposta
(As duas expressões acima são equivalentes; a primeira é a forma integral pedida e a segunda é a forma explícita em termos de
. Estas fórmulas foram obtidas supondo que
é a equação do calor
e que
é o núcleo fundamental
. Se
e
forem outras fórmulas, envie-as que eu refaço os passos correspondentes.)