Usando (6), obtenha a solução de (1) na forma de integral satisfazende à condição inicial
onde:
se
e 0 nos demais casos
Passo 1
O enunciado pede: obter, usando
onde
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A condição inicial
janela (função indicadora do intervalo
). - O enunciado refere-se explicitamente a duas fórmulas/etapas numeradas
e .
Observação crucial: as expressões
e
não foram fornecidas na pergunta. Sem saber o que são
e
não há como determinar de forma única qual é a equação a ser resolvida nem qual representação
fornece. Por isso é impossível dar a solução exata pedida sem essa informação adicional.]
Passo 2
Para não deixar você sem qualquer avanço útil (e já que o enunciado costuma, em provas de PDEs elementares, pedir exatamente isso), vou assumir o caso mais comum em que a pergunta corresponde ao problema clássico do calor na reta inteira. Vou explicitar a suposição para que fique claro o que estou fazendo:
Suposição (comuníssima em exercícios):
é a equação do calor
com condição inicial
. E
é a representação da solução como convolução com o núcleo fundamental (a “heat kernel”)
Se a sua
e
forem realmente essas expressões, siga a resolução abaixo; se não, me diga (ou cole)
e
que eu refaço direitinho sem fazer suposições.
Motivo da escolha: o enunciado pede apenas
(uma condição inicial de valor), que é exatamente o tipo de dado suficiente para o problema do calor; muitas provas pedem obter a solução como integral convolvendo
com
.
Passo 3
Princípio da solução por convolução (aula curta e prática).
- Quando se resolve a equação do calor na reta inteira com condição inicial
, a solução é dada pela convolução da condição inicial com o núcleo fundamental . Em fórmulas:
- Aqui
é a densidade Gaussiana em com variância proporcional a . Explicando cada símbolo: -
é a solução procurada no ponto e tempo . -
mede quanto a contribuição do ponto na condição inicial influencia o ponto no tempo . - A integral soma (convolui) as contribuições de todos os pontos
.
-
Essa fórmula é o que normalmente aparece como a equação
em livros/provas: a representação integral da solução.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso particular
se
e
caso contrário.
Substituindo
na convolução obtemos
Essa é a forma de integral direta e correta da solução (essa forma é exatamente o que muitos enunciados pedem).
Agora vamos transformar essa integral num resultado mais explícito (útil na prova e para verificar o limite
).
Passo 5
Cálculo da integral da Gauss sobre o intervalo
— mudança de variável e uso da função erro (
).
Defina a mudança de variável
Então
Quando
temos
. Quando
temos
.
Fazendo a troca na integral:
A função erro é definida por
Usando isso, a integral entre limites dá
Aplicando com
e
, obtemos a forma fechada:
Passo 6
Interpretações rápidas e checagem (motivação didática):
- Para
, as duas funções têm argumentos muito grandes e separados de forma que a expressão tende a quando e a quando , recuperando a condição inicial . - A solução é suave para
: o calor “difunde” a descontinuidade inicial da função indicadora, produzindo uma transição contínua em borda cuja largura cresce como . - Se a sua equação original
for outra (por exemplo equação da onda), a representação integral e o método serão diferentes: para onda usa-se d’Alembert; para outras equações lineares usa-se o respectivo núcleo fundamental ou transformadas.