Usando (6), obtenha a solução de (1) na forma de integral satisfazende à condição inicial u(x, 0)=f(x) onde:
f(x)=1 se |x|<a e 0 nos demais casos

Passo 1

O enunciado pede: obter, usando (6)\), a solução de \((1)\) na forma de integral que satisfaça a condição inicial \[u(x,0)=f(x),
onde
f(x)=\begin{cases} 1, & |x|<a,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A condição inicial u(x,0)=f(x)\] com \(f janela (função indicadora do intervalo (-a,a)).
  • O enunciado refere-se explicitamente a duas fórmulas/etapas numeradas (1) e (6).
Observação crucial: as expressões (1) e (6) não foram fornecidas na pergunta. Sem saber o que são (1) e (6) não há como determinar de forma única qual é a equação a ser resolvida nem qual representação (6) fornece. Por isso é impossível dar a solução exata pedida sem essa informação adicional.]

Passo 2

Para não deixar você sem qualquer avanço útil (e já que o enunciado costuma, em provas de PDEs elementares, pedir exatamente isso), vou assumir o caso mais comum em que a pergunta corresponde ao problema clássico do calor na reta inteira. Vou explicitar a suposição para que fique claro o que estou fazendo:
Suposição (comuníssima em exercícios): (1) é a equação do calor
\frac{\partial u}{\partial t} = k\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\qquad x\in\mathbb{R},\\ t>0,
com condição inicial u(x,0)=f(x). E (6) é a representação da solução como convolução com o núcleo fundamental (a “heat kernel”)
G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\exp\!\left(-\frac{x^{2}}{4k t}\right).
Se a sua (1) e (6) forem realmente essas expressões, siga a resolução abaixo; se não, me diga (ou cole) (1) e (6) que eu refaço direitinho sem fazer suposições.
Motivo da escolha: o enunciado pede apenas u(x,0)=f(x) (uma condição inicial de valor), que é exatamente o tipo de dado suficiente para o problema do calor; muitas provas pedem obter a solução como integral convolvendo f com G.

Passo 3

Princípio da solução por convolução (aula curta e prática).
  • Quando se resolve a equação do calor na reta inteira com condição inicial u(x,0)=f(x), a solução é dada pela convolução da condição inicial com o núcleo fundamental G. Em fórmulas:
u(x,t) = \bigl(G(\cdot,t)*f\bigr)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)\,f(y)\,dy.
  • Aqui G(x,t) é a densidade Gaussiana em x com variância proporcional a t. Explicando cada símbolo:
    • u(x,t) é a solução procurada no ponto x e tempo t.
    • G(x-y,t) mede quanto a contribuição do ponto y na condição inicial influencia o ponto x no tempo t.
    • A integral soma (convolui) as contribuições de todos os pontos y\in\mathbb{R}.
Essa fórmula é o que normalmente aparece como a equação (6) em livros/provas: a representação integral da solução.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso particular f(y)=1 se |y|<a e 0 caso contrário.
Substituindo f na convolução obtemos
u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)\,f(y)\,dy =\int_{-a}^{a} \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\exp\!\left(-\frac{(x-y)^{2}}{4k t}\right)\,dy.
Essa é a forma de integral direta e correta da solução (essa forma é exatamente o que muitos enunciados pedem).
Agora vamos transformar essa integral num resultado mais explícito (útil na prova e para verificar o limite t\to0^+).

Passo 5

Cálculo da integral da Gauss sobre o intervalo [-a,a] — mudança de variável e uso da função erro ( \operatorname{erf}).
Defina a mudança de variável
z=\frac{x-y}{2\sqrt{k t}}.
Então
dy = -2\sqrt{k t}\,dz.
Quando y=-a temos z=\dfrac{x+ a}{2\sqrt{k t}}. Quando y= a temos z=\dfrac{x- a}{2\sqrt{k t}}.
Fazendo a troca na integral:
\begin{aligned} u(x,t) &= \int_{y=-a}^{y=a} \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}} \exp\!\left(-\frac{(x-y)^2}{4k t}\right)\,dy\\[6pt] &= \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\biggl(-2\sqrt{k t}\biggr) \int_{z=(x+a)/(2\sqrt{k t})}^{(x-a)/(2\sqrt{k t})} e^{-z^{2}}\,dz\\[6pt] &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{(x-a)/(2\sqrt{k t})}^{(x+a)/(2\sqrt{k t})} e^{-z^{2}}\,dz. \end{aligned}
A função erro é definida por
\operatorname{erf}(u)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{u} e^{-s^{2}}\,ds.
Usando isso, a integral entre limites dá
\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{\alpha}^{\beta} e^{-z^{2}}\,dz = \frac{1}{2}\bigl(\operatorname{erf}(\beta)-\operatorname{erf}(\alpha)\bigr).
Aplicando com \alpha=\dfrac{x-a}{2\sqrt{k t}} e \beta=\dfrac{x+a}{2\sqrt{k t}}, obtemos a forma fechada:
u(x,t)=\frac{1}{2}\left[\operatorname{erf}\!\left(\frac{x+a}{2\sqrt{k t}}\right)-\operatorname{erf}\!\left(\frac{x-a}{2\sqrt{k t}}\right)\right].]

Passo 6

Interpretações rápidas e checagem (motivação didática):
  • Para t\to0^{+}, as duas funções \operatorname{erf} têm argumentos muito grandes e separados de forma que a expressão tende a 1 quando |x|<a e a 0 quando |x|>a, recuperando a condição inicial f(x).
  • A solução é suave para t>0: o calor “difunde” a descontinuidade inicial da função indicadora, produzindo uma transição contínua em borda cuja largura cresce como \sqrt{t}.
  • Se a sua equação original (1) for outra (por exemplo equação da onda), a representação integral e o método serão diferentes: para onda usa-se d’Alembert; para outras equações lineares usa-se o respectivo núcleo fundamental ou transformadas.

Resposta

u(x,t)=\int_{-a}^{a} \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}}\exp\!\left(-\frac{(x-y)^{2}}{4k t}\right)\,dy
\text{equivalente a}\qquad u(x,t)=\frac{1}{2}\left[\operatorname{erf}\!\left(\frac{x+a}{2\sqrt{k t}}\right)-\operatorname{erf}\!\left(\frac{x-a}{2\sqrt{k t}}\right)\right].

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