No que consiste o teorema fundamental do cálculo? Qual a sua importância para a história das ciências e como sua compreensão revolucionou a matemática na época? Liste os principais cientistas responsáveis pela consolidação desse teorema. (4 pontos)
Passo 1
Resumo do enunciado: a questão pede para explicar em que consiste o teorema fundamental do cálculo, discutir sua importância histórica e como ele revolucionou a matemática, e listar os principais cientistas que o consolidaram.
Passo 2
Enunciado do teorema: o teorema fundamental do cálculo estabelece a ligação entre derivação e integração em duas partes. Na primeira parte, se definimos
então temos
Na segunda parte, para qualquer primitiva
de
, vale
Passo 3
Importância para a história das ciências: antes desse teorema, integrar significava fazer quadraturas geometricamente e derivar tratava tangentes; o teorema unificou esses processos, permitindo calcular áreas e volumes de forma algébrica por meio de antiderivadas.
Passo 4
Revolução na matemática da época: a compreensão dessa ligação acelerou o desenvolvimento da física matemática (leis do movimento e gravitação), da óptica e da engenharia, pois passou-se a resolver problemas de taxa de variação e acumulação de modo sistemático e eficiente.
Passo 5
Principais cientistas responsáveis: Bonaventura Cavalieri (método dos indivisíveis), Fermat (cálculo de máximos e mínimos), Isaac Barrow (primeira formulação clara da ligação), Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz (desenvolveram independentemente o cálculo infinitesimal e publicaram o teorema).
Resposta
O teorema fundamental do cálculo afirma que derivação e integração são operações inversas: a derivada da integral de uma função retorna a própria função, e o valor de uma integral definida pode ser obtido por meio de uma primitiva. Historicamente, esse teorema unificou cálculos de áreas e tangentes, viabilizou o avanço da física matemática e revolucionou a solução de problemas em ciências exatas. Os principais nomes na consolidação foram Cavalieri, Fermat, Barrow, Newton e Leibniz.