Mostre que R^n e R têm a mesma cardinalidade, onde n é um natural positivo. COM CÁLCULOS

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os conjuntos R^n e R têm a mesma cardinalidade, isto é, existe uma bijeção entre eles. Vamos usar teoria de cardinalidade e construir bijeções explícitas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, mostramos que |R| = |(0,1)|. Definimos a função
varphi: R to (0,1), varphi(x) = 1piarctan(x) + 12
Essa varphi é estritamente crescente, contínua, com
limxto -inftyvarphi(x)=0, limxto +inftyvarphi(x)=1,
e portanto é bijetora de R em (0,1). Sua inversa é
varphi^-1(y)=tanl(pi(y-1/2)r),
o que garante |R| = |(0,1)|.

Passo 3

Em seguida, mostramos que |(0,1)^n| = |(0,1)|. Para isso, usamos o truque de intercalar dígitos das expansões decimais. Cada xiin(0,1) tem expansão
xi = 0xi1xi2xi3dots,
e definimos
f(x1,dots,xn) = 0underbracex11x21dots xn1n dígitosunderbracex12x22dots xn2n dígitosunderbracex13x23dots xn3n dígitosdots ííí
Essa f:(0,1)^nto(0,1) é injetora e, contornando as duplicidades das expansões terminadas em 999dots, torna-se bijetora. Logo |(0,1)^n| = |(0,1)|.

Passo 4

Agora basta compor as bijeções para obter uma bijeção entre R^n e R. Primeiro, aplicamos varphi em cada componente
e obtemos
Phi: R^n to (0,1)^n, Phi(x1,dots,xn) = l(varphi(x1),dots,varphi(xn)r)
Em seguida, aplicamos f para ir de (0,1)^n a (0,1), e por fim varphi^-1 para voltar a R. A composição
Psi = varphi^-1circ f circ Phi
é bijetora de R^n em R.

Passo 5

Portanto, existe uma bijeção explícita entre R^n e R, o que mostra que eles têm a mesma cardinalidade.

Resposta

Como construímos bijeções R^nto(0,1)^nto(0,1)toR, concluímos que
|\mathbb{R}^n| = |\mathbb{R}|.
Isto prova que R^n e R têm a mesma cardinalidade.

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