Mostre que e têm a mesma cardinalidade, onde é um natural positivo. COM CÁLCULOS
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os conjuntos e têm a mesma cardinalidade, isto é, existe uma bijeção entre eles. Vamos usar teoria de cardinalidade e construir bijeções explícitas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, mostramos que . Definimos a função
Essa é estritamente crescente, contínua, com
e portanto é bijetora de em . Sua inversa é
o que garante .
Passo 3
Em seguida, mostramos que . Para isso, usamos o truque de intercalar dígitos das expansões decimais. Cada tem expansão
e definimos
Essa f:(0,1)^nto(0,1) é injetora e, contornando as duplicidades das expansões terminadas em 999dots, torna-se bijetora. Logo |(0,1)^n| = |(0,1)|.
Passo 4
Agora basta compor as bijeções para obter uma bijeção entre R^n e R. Primeiro, aplicamos varphi em cada componente
e obtemos
Phi: R^n to (0,1)^n, Phi(x1,dots,xn) = l(varphi(x1),dots,varphi(xn)r)
Em seguida, aplicamos f para ir de (0,1)^n a (0,1), e por fim varphi^-1 para voltar a R. A composição
Psi = varphi^-1circ f circ Phi
é bijetora de R^n em R.
Passo 5
Portanto, existe uma bijeção explícita entre R^n e R, o que mostra que eles têm a mesma cardinalidade.
Resposta
Como construímos bijeções R^nto(0,1)^nto(0,1)toR, concluímos que