A constante dielétrica de óleos vegetais calculados experimentalmente são 4,266 e 13,374 para soja e dendê, respectivamente. Quais as áreas dos capacitores eletrolíticos para uma distância fixa de 0,5 \mathrm{~mm} entre os eletrodos metálicos? Considere as capacitâncias iguais 10 \mu \mathrm{~F}.
Fonte: https://metallum.com.br/23cbecimat/anais/PDF/IVk05-004.pdf

Passo 1

O que o problema pede: calcular as áreas dos capacitores paralelos (placa plana) quando a distância entre as placas é fixa e as capacitâncias são 10\\ \mu\mathrm{F}. Pedem duas áreas diferentes, uma usando óleo de soja e outra usando óleo de dendê como dielétrico.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Constante dielétrica do óleo de soja:}\\ \varepsilon_{r,\text{soja}}=4,266\\\ &\text{Constante dielétrica do óleo de dendê:}\\ \varepsilon_{r,\text{dendê}}=13,374\\\ &\text{Capacitância desejada:}\\ C=10\\ \mu\mathrm{F}\\\ &\text{Distância entre eletrodos (fixa):}\\ d=0,5\\ \mathrm{mm} \end{aligned}éóéóêêââ
Observação: converterei as unidades para o sistema internacional (metros, farads) durante a resolução.

Passo 2

Fórmula fundamental que usamos (paralelas de placa): a capacitância de um capacitor de placas paralelas com um dielétrico homogêneo entre as placas é dada por
C=\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\frac{A}{d},
onde:
  • C é a capacitância (em farads, \mathrm{F}),
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \mathrm{F/m}),
  • \varepsilon_r é a constante dielétrica (adimensional) do material entre as placas,
  • A é a área da placa (em metros quadrados, \mathrm{m}^2),
  • d é a separação entre as placas (em metros, \mathrm{m}).
Breve explicação didática: a capacitância mede a capacidade de armazenar carga para uma dada diferença de potencial. Quanto maior for a área A, maior será a quantidade de carga que cabe nas placas para a mesma tensão; quanto maior a distância d, mais “espalhado” o campo fica e menor a capacitância. O material entre as placas aumenta efetivamente a permissividade através de \varepsilon_r: materiais com \varepsilon_r maior tornam o capacitor mais “capacitante” para a mesma geometria.

Passo 3

Isolamos A na fórmula para poder calcular a área necessária:
A=\frac{C\,d}{\varepsilon_0\,\varepsilon_r}.
Aqui vamos substituir C, d, \varepsilon_0 e \varepsilon_r (cada caso com seu \varepsilon_r).

Passo 4

Conversões e valores numéricos que usaremos:
\begin{aligned} &C=10\\ \mu\mathrm{F}=10\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=10\times10^{-6}\\ \mathrm{F},\\\ &d=0,5\\ \mathrm{mm}=0,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=5\times10^{-4}\\ \mathrm{m},\\\ &\varepsilon_0=8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}. \end{aligned}
(Observação: usei o valor padrão de \varepsilon_0.)
Agora calculemos o numerador comum para ambas as situações:
C\,d=(10\times10^{-6})\times(5\times10^{-4})=5\times10^{-9}\\ \mathrm{F\cdot m}.

Passo 5

Cálculo para o óleo de soja ( \varepsilon_{r,\text{soja}}=4,266).
Aplicando a fórmula:
A_{\text{soja}}=\frac{5\times10^{-9}}{\varepsilon_0\cdot 4,266}.
Calculemos o denominador:
\varepsilon_0\cdot 4,266=(8,854187817\times10^{-12})\times 4,266 =3,7771965226302\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
Portanto
A_{\text{soja}}=\frac{5\times10^{-9}}{3,7771965226302\times10^{-11}}.
Fazendo a divisão:
A_{\text{soja}}\approx 132,40\\ \mathrm{m}^2.
Explicação rápida: o número ficou grande porque para obter 10\\ \mu\mathrm{F} com um dielétrico de \varepsilon_r moderado e separação de 0,5\\ \mathrm{mm} é preciso uma área grande — a capacitância aumenta linearmente com A e inversamente com d.

Passo 6

Cálculo para o óleo de dendê ( \varepsilon_{r,\text{dendê}}=13,374ê).
Aplicando a fórmula:
A_{\text{dendê}}=\frac{5\times10^{-9}}{\varepsilon_0\cdot 13,374}.ê
Calculemos o denominador:
\varepsilon_0\cdot 13,374=(8,854187817\times10^{-12})\times 13,374 =1,18415906863558\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
Portanto
A_{\text{dendê}}=\frac{5\times10^{-9}}{1,18415906863558\times10^{-10}}.ê
Fazendo a divisão:
A_{\text{dendê}}\approx 42,23\\ \mathrm{m}^2.ê
Comentário didático: como o óleo de dendê tem \varepsilon_r muito maior que o da soja, para a mesma capacitância e mesma separação precisamos de uma área bem menor. Isso ilustra diretamente a dependência A\propto 1/\varepsilon_r.

Passo 7

Resumo numérico e verificação rápida de unidades: usamos C em farads, d em metros e \varepsilon_0 em \mathrm{F/m}, logo a unidade resultante para A é \mathrm{m}^2, que é o pedido. Os valores obtidos representam áreas de placas planas necessárias (em geometria ideal); na prática, capacitores eletrolíticos usam superfícies muito aumentadas (rugosidade, filmes, etc.) para alcançar capacitâncias grandes com áreas geométricas pequenas.

Resposta

Soja: 132,40\\ \mathrm{m}^2
Dendê: 42,23\\ \mathrm{m}^2

Exercícios relacionados