(2,0) A constante de equilíbrio de uma certa reação ajusta-se à expresção abaixo entre 300 K e 600 K :
In \mathrm{K}=-1,04-1.088 \times 10^{\wedge} 3 \mathrm{~T}^{\wedge}-1+151 \times 10^{\wedge} 5 \mathrm{~T}^{\wedge}-2
Calcule deltaH { }^{\circ} e deltaS { }^{\circ} a 400K.

Passo 1

O enunciado dá a dependência da constante de equilíbrio K com a temperatura entre 300 K e 600 K pela expressão
\ln K = -1,04 \; - \; 1,088\times10^{3}\,T^{-1} \; + \; 151\times10^{5}\,T^{-2}.
Queremos calcular a entalpia padrão \Delta H^\circ e a entropia padrão \Delta S^\circ a T=400 K.
Conteúdo usado: equação de van t Hoff na forma diferencial
\frac{d\ln K}{dT} = \frac{\Delta H^\circ}{R\,T^{2}},
e a relação termodinâmica
\Delta G^\circ = -R\,T\ln K \quad\text{e}\quad \Delta G^\circ = \Delta H^\circ - T\,\Delta S^\circ.

Passo 2

Definimos y = 1/T. Assim
\ln K = -1,04 \;-\; 1,088\times10^{3}\,y \;+\;151\times10^{5}\,y^{2}.
Derivando em relação a y temos
\frac{d(\ln K)}{dy} = -\,1,088\times10^{3} \;+\;2\cdot(151\times10^{5})\,y.
Em T=400 K corresponde y=1/400=2{,}5\times10^{-3}, logo
\frac{d(\ln K)}{dy}\Big|_{400} = -\,1\,088 + 2\cdot(151\times10^{5})\cdot2{,}5\times10^{-3} = -\,1\,088 + 75\,500 = 74\,412.

Passo 3

Pela forma “van t Hoff em 1/T”:
\Delta H^\circ = -R\;\frac{d(\ln K)}{dy} \quad\text{com}\quad R=8{,}314\;\mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Substituindo
\Delta H^\circ = -\,8{,}314\times74\,412 \approx -6{,}19\times10^{5}\;\mathrm{J/mol} = -619\;\mathrm{kJ/mol}.

Passo 4

Agora avaliamos \ln K em T=400 K:
\ln K = -1,04 - \frac{1,088\times10^{3}}{400} + \frac{151\times10^{5}}{400^{2}} = -1,04 -2,72 +94,375 = 90,615.

Passo 5

Usamos \Delta G^\circ = -R\,T\ln K e \Delta G^\circ = \Delta H^\circ - T\,\Delta S^\circ.
Isolando \Delta S^\circ:
\Delta S^\circ = \frac{\Delta H^\circ - \Delta G^\circ}{T} = \frac{\Delta H^\circ + R\,T\ln K}{T}.
Substituindo valores em T=400 K:
\Delta S^\circ = \frac{-6{,}19\times10^{5} + 8{,}314\cdot400\cdot90,615}{400} \approx -7,93\times10^{2}\;\mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Resposta

\displaystyle \Delta H^\circ(400\text{ K}) \approx -619\;\mathrm{kJ/mol}, \displaystyle \Delta S^\circ(400\text{ K}) \approx -793\;\mathrm{J/(mol\cdot K)}.

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