8)Se a constante de fase de um sistema massa-mola em MHS é
, e a posição do bloco é dada por
, qual a razão entre a energia cinética e potencial no instante
?
Em um oscilador amortecido com
e
qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 37 ciclos?
Observações: Responda apenas o valor numérico, com duas casas decimais, ex: 0,25.
Passo 1
Vou organizar o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
-
Pergunta 1: “Se a constante de fase de um sistema massa-mola em MHS é
, e a posição do bloco é dada por , qual a razão entre a energia cinética e a energia potencial no instante ?”
Dados:. A posição geral é . -
Pergunta 2: “Em um oscilador amortecido com
e qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 37 ciclos?”
Dados:, , , número de ciclos .
Não começo a resolver aqui; só deixei claro o que é pedido e os valores que temos.
Passo 2
Primeira parte — escrever as fórmulas de energia para MHS e expressar a razão
em termos da fase.
- A energia potencial elástica em qualquer instante para uma mola é
Aqui
é a constante elástica e
é a elongação instantânea.
- A energia cinética é
onde
é a massa e
é a velocidade.
- Para
a velocidade é
Expliquei:
é a frequência angular; derivando cosseno aparece
e multiplica por
.
- Substituindo em
e em ,
Mas para um MHS ideal vale
, então
. Isso simplifica
para
- Portanto a razão entre energias é
Passo 3
Avaliar a razão no instante
.
- No instante
temos . Então
- Como dado
, calculamos . Lembrando: . Logo
- Arredondando para duas casas decimais conforme pedido, a razão é
.
Passo 4
Agora a segunda parte: entender decay de amplitude em oscilador amortecido.
- Para um oscilador linear com amortecimento viscoso descrito por
a amplitude da oscilação decai com o fator exponencial associado ao coeficiente de amortecimento
, onde
Aqui
tem unidade de
e aparece no envelope da solução:
.
- Portanto a razão entre amplitude num tempo
e a amplitude inicial é
- Se quisermos a razão após
ciclos, o tempo total é , onde é o período das oscilações amortecidas. Assim
Passo 5
Calcular os parâmetros numéricos a partir dos dados dados.
- Converto massas e coeficiente para SI:
- Calculo
:
- A frequência natural sem amortecimento é
- Verificamos que o sistema é subamortecido (caso típico de oscilações) se
. Aqui , logo está subamortecido.
Passo 6
Calcular a frequência de oscilação amortecida
, o período
e a razão final.
- A frequência angular amortecida é
- O período das oscilações amortecidas é
- O tempo total para
ciclos é
- A razão entre amplitudes depois de 37 ciclos é
- Arredondando para duas casas decimais:
.
Resposta
0,33
0,17
0,17