8)Se a constante de fase de um sistema massa-mola em MHS é \pi / 6, e a posição do bloco é dada por x=x m \cos (\omega t+\varphi), qual a razão entre a energia cinética e potencial no instante t=0 ?
Em um oscilador amortecido com \mathrm{m}=250 \mathrm{~g}, \mathrm{k}=85 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e \mathrm{b}=70 \mathrm{~g} / \mathrm{s} qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 37 ciclos?
Observações: Responda apenas o valor numérico, com duas casas decimais, ex: 0,25.

Passo 1

Vou organizar o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pergunta 1: “Se a constante de fase de um sistema massa-mola em MHS é \pi/6, e a posição do bloco é dada por x = x_m \cos(\omega t + \varphi), qual a razão entre a energia cinética e a energia potencial no instante t=0?”
    Dados: \varphi = \pi/6. A posição geral é x(t)=x_m\cos(\omega t+\varphi).
  • Pergunta 2: “Em um oscilador amortecido com m=250\\ \mathrm{g},\\ k=85\\ \mathrm{N/m} e b=70\\ \mathrm{g/s} qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 37 ciclos?”
    Dados: m=250\\ \mathrm{g}, k=85\\ \mathrm{N/m}, b=70\\ \mathrm{g/s}, número de ciclos N=37.
Não começo a resolver aqui; só deixei claro o que é pedido e os valores que temos.

Passo 2

Primeira parte — escrever as fórmulas de energia para MHS e expressar a razão K/U em termos da fase.
  • A energia potencial elástica em qualquer instante para uma mola é
U(t)=\tfrac{1}{2}k\,x(t)^2.
Aqui k é a constante elástica e x(t) é a elongação instantânea.
  • A energia cinética é
K(t)=\tfrac{1}{2}m\,v(t)^2,
onde m é a massa e v(t)=\dfrac{dx}{dt} é a velocidade.
  • Para x(t)=x_m\cos(\omega t+\varphi) a velocidade é
v(t)=-\omega x_m\sin(\omega t+\varphi).
Expliquei: \omega é a frequência angular; derivando cosseno aparece -\sin e multiplica por \omega.
  • Substituindo em K e em U,
U(t)=\tfrac{1}{2}k x_m^2\cos^2(\omega t+\varphi), \qquad K(t)=\tfrac{1}{2}m(\omega x_m)^2\sin^2(\omega t+\varphi).
Mas para um MHS ideal vale \,m\omega^2=k, então m\omega^2 x_m^2 = k x_m^2. Isso simplifica K para
K(t)=\tfrac{1}{2}k x_m^2\sin^2(\omega t+\varphi).
  • Portanto a razão entre energias é
\frac{K(t)}{U(t)}=\frac{\sin^2(\omega t+\varphi)}{\cos^2(\omega t+\varphi)}=\tan^2(\omega t+\varphi).

Passo 3

Avaliar a razão no instante t=0.
  • No instante t=0 temos \omega t+\varphi = \varphi. Então
\frac{K(0)}{U(0)}=\tan^2(\varphi).
  • Como dado \varphi=\pi/6, calculamos \tan(\pi/6). Lembrando: \tan(\pi/6)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Logo
\frac{K(0)}{U(0)}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{1}{3}\approx 0,3333\ldots
  • Arredondando para duas casas decimais conforme pedido, a razão é 0{,}33.

Passo 4

Agora a segunda parte: entender decay de amplitude em oscilador amortecido.
  • Para um oscilador linear com amortecimento viscoso descrito por
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0,
a amplitude da oscilação decai com o fator exponencial associado ao coeficiente de amortecimento \gamma, onde
\gamma=\frac{b}{2m}.
Aqui \gamma tem unidade de \mathrm{s}^{-1} e aparece no envelope da solução: A(t)=A_0 e^{-\gamma t}.
  • Portanto a razão entre amplitude num tempo t e a amplitude inicial é
\frac{A(t)}{A_0}=e^{-\gamma t}.
  • Se quisermos a razão após N ciclos, o tempo total é t=N T, onde T é o período das oscilações amortecidas. Assim
\frac{A(N)}{A_0}=e^{-\gamma N T}.

Passo 5

Calcular os parâmetros numéricos a partir dos dados dados.
  • Converto massas e coeficiente para SI:
m=250\\ \mathrm{g}=0{,}25\\ \mathrm{kg},\qquad b=70\\ \mathrm{g/s}=0{,}07\\ \mathrm{kg/s}.
  • Calculo \gamma:
\gamma=\frac{b}{2m}=\frac{0{,}07}{2\cdot 0{,}25}=\frac{0{,}07}{0{,}50}=0{,}14\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • A frequência natural sem amortecimento é
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{85}{0{,}25}}=\sqrt{340}\approx 18{,}4391\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Verificamos que o sistema é subamortecido (caso típico de oscilações) se \gamma<\omega_0. Aqui 0{,}14\ll 18{,}44, logo está subamortecido.

Passo 6

Calcular a frequência de oscilação amortecida \omega_d, o período T e a razão final.
  • A frequência angular amortecida é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}=\sqrt{(18{,}4391)^2-(0{,}14)^2}=\sqrt{340-0{,}0196}=\sqrt{339{,}9804}\approx 18{,}4386\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • O período das oscilações amortecidas é
T=\frac{2\pi}{\omega_d}\approx\frac{2\pi}{18{,}4386}\approx 0{,}3408\\ \mathrm{s}.
  • O tempo total para N=37 ciclos é
t=N T=37\cdot 0{,}3408\approx 12{,}603\\ \mathrm{s}.
  • A razão entre amplitudes depois de 37 ciclos é
\frac{A(37)}{A_0}=e^{-\gamma t}=e^{-0{,}14\cdot 12{,}603}=e^{-1{,}7644}\approx 0{,}1714.
  • Arredondando para duas casas decimais: 0{,}17.

Resposta

0,33
0,17

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