Considere uma partícula de massa
que se move sob a influência da gravidade sobre a superfície interna de um cone
. Encontre a equação de movimento do sistema.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de massa
que se move sob a ação da gravidade sobre a superfície interna do cone
Pergunta: encontrar a(s) equação(ões) de movimento do sistema.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Não há outras forças além da gravidade e da reação de contato que impõe a restrição do cone. A meta é obter as equações dinâmicas que descrevem o movimento sobre essa superfície.
Passo 2
Escolhemos coordenadas cilíndricas
porque a restrição do cone é simples nelas. Em coordenadas cilíndricas:
A equação do cone em termos de
e
é
assumindo
(ou tomando
, mas usaremos
para simplicidade). Diferenciando em tempo:
A velocidade ao quadrado em coordenadas cilíndricas é (fórmula padrão; pode ser obtida derivando
):
Substituindo
e
temos
Passo 3
Agora escrevemos energia cinética
e energia potencial
. Tomamos referência de energia potencial tal que
(energia aumenta com
; a força peso é
). Assim:
Formamos o lagrangiano
:
Passo 4
Aplicamos as equações de Euler–Lagrange. Primeiro para a coordenada
. A equação geral é
Para
observamos que
não depende explicitamente de
(simetria circular), logo a quantidade conjugada a
é conservada:
Isto é, o momento angular em torno do eixo
é constante. Podemos isolar
:
Passo 5
Agora aplicamos Euler–Lagrange para
. Calculamos primeiro as derivadas parciais necessárias:
portanto
E
A equação de Euler–Lagrange para
é
Dividindo por
obtemos
Rearranjando:
Passo 6
Substituímos a expressão de
em termos de
(constante de momento angular) para obter uma única equação para
. Com
temos
Portanto a equação para
fica