Considere uma partícula de massa m que se move sob a influência da gravidade sobre a superfície interna de um cone x^{2}+y^{2}=c^{2} z^{2}. Encontre a equação de movimento do sistema.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m que se move sob a ação da gravidade sobre a superfície interna do cone
x^{2}+y^{2}=c^{2}z^{2}.
Pergunta: encontrar a(s) equação(ões) de movimento do sistema.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{massa: } m,\\\ &\text{superfície (restrição): } x^{2}+y^{2}=c^{2}z^{2},\\\ &\text{gravidade: força peso vertical para baixo (aceleração } g\text{).} \end{aligned}íçãççã
Não há outras forças além da gravidade e da reação de contato que impõe a restrição do cone. A meta é obter as equações dinâmicas que descrevem o movimento sobre essa superfície.

Passo 2

Escolhemos coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z) porque a restrição do cone é simples nelas. Em coordenadas cilíndricas:
x=r\cos\varphi,\qquad y=r\sin\varphi,\qquad z=z.
A equação do cone em termos de r e z é
r^{2}=c^{2}z^{2}\quad\Rightarrow\quad r=c\,z,
assumindo z\ge 0 (ou tomando r=|c z|, mas usaremos r=cz para simplicidade). Diferenciando em tempo:
\dot r = c\,\dot z.
A velocidade ao quadrado em coordenadas cilíndricas é (fórmula padrão; pode ser obtida derivando x,y,z):
v^{2}=\dot r^{2}+r^{2}\dot\varphi^{2}+\dot z^{2}.
Substituindo \dot r = c\dot z e r=c z temos
v^{2}=(c\dot z)^{2}+(c z)^{2}\dot\varphi^{2}+\dot z^{2}=(1+c^{2})\dot z^{2}+c^{2}z^{2}\dot\varphi^{2}.

Passo 3

Agora escrevemos energia cinética T e energia potencial V. Tomamos referência de energia potencial tal que V=m g z (energia aumenta com z; a força peso é -mg\hat z). Assim:
T=\frac{1}{2}m v^{2}=\frac{1}{2}m\bigl((1+c^{2})\dot z^{2}+c^{2}z^{2}\dot\varphi^{2}\bigr),
V=m g z.
Formamos o lagrangiano L=T-V:
L=\frac{1}{2}m\bigl((1+c^{2})\dot z^{2}+c^{2}z^{2}\dot\varphi^{2}\bigr)-m g z.

Passo 4

Aplicamos as equações de Euler–Lagrange. Primeiro para a coordenada \varphi. A equação geral é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0.
Para q=\varphi observamos que L não depende explicitamente de \varphi (simetria circular), logo a quantidade conjugada a \varphi é conservada:
p_{\varphi}=\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi}=m c^{2} z^{2}\dot\varphi=\text{conste} \doteq \ell.
Isto é, o momento angular em torno do eixo z é constante. Podemos isolar \dot\varphi:
\dot\varphi=\frac{\ell}{m c^{2} z^{2}}.

Passo 5

Agora aplicamos Euler–Lagrange para q=z. Calculamos primeiro as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial L}{\partial\dot z}=m(1+c^{2})\dot z,
portanto
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot z}\right)=m(1+c^{2})\ddot z.
E
\frac{\partial L}{\partial z}= \frac{1}{2}m\cdot 2 c^{2} z\dot\varphi^{2}-m g = m c^{2} z\dot\varphi^{2}-m g.
A equação de Euler–Lagrange para z é
m(1+c^{2})\ddot z -\bigl(m c^{2} z\dot\varphi^{2}-m g\bigr)=0.
Dividindo por m obtemos
(1+c^{2})\ddot z - c^{2} z\dot\varphi^{2} + g = 0.
Rearranjando:
(1+c^{2})\ddot z = c^{2} z\dot\varphi^{2} - g.

Passo 6

Substituímos a expressão de \dot\varphi em termos de \ell (constante de momento angular) para obter uma única equação para z(t). Com \dot\varphi=\dfrac{\ell}{m c^{2} z^{2}} temos
c^{2} z\dot\varphi^{2}=c^{2} z\left(\frac{\ell^{2}}{m^{2} c^{4} z^{4}}\right)=\frac{\ell^{2}}{m^{2} c^{2} z^{3}}.
Portanto a equação para z(t) fica
(1+c^{2})\ddot z = \frac{\ell^{2}}{m^{2} c^{2} z^{3}} - g.

Resposta

p_{\varphi}=m c^{2} z^{2}\dot\varphi=\ell\quad(\text{constante})
(1+c^{2})\ddot z=\frac{\ell^{2}}{m^{2} c^{2} z^{3}}-g

Exercícios relacionados