1. Um pêndulo físico em forma de corpo achatado move-se com movimento harmônico simples com frequência de 0,450 \mathrm{~Hz}. O pêndulo tem massa de 3,6 \mathrm{~kg}, e o pivô está localizado a 0,64 \mathrm{~m} do centro de massa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e (implícito) pede uma grandeza a ser determinada. Vou listar o que temos:
  • Frequência do movimento harmônico simples: \,f=0,450\\ \mathrm{Hz}.
  • Massa do pêndulo: \,m=3,6\\ \mathrm{kg}.
  • Distância do pivô ao centro de massa: \,d=0,64\\ \mathrm{m}.
Vou assumir que o objetivo é determinar o momento de inércia do corpo em relação ao centro de massa (isto é uma pergunta padrão para esse tipo de enunciado). Se for outro objetivo, a técnica será parecida e posso adaptar depois.

Passo 2

Conceito físico importante — equação do pêndulo físico para pequenas oscilações:
Para um pêndulo físico que oscila com pequeno ângulo, o torque restaurador devido ao peso é aproximadamente proporcional ao ângulo \theta. Aplicando a segunda lei de Newton para rotação obtemos a equação do movimento harmônico:
I_{\text{pivô}}\,\alpha = -m g d\,\theta,ô
onde:
  • I_{\text{pivô}}ô é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo que passa pelo pivô,
  • \alpha é a aceleração angular ( \alpha=\ddot\theta),
  • g é a aceleração da gravidade, e
  • d é a distância do pivô ao centro de massa.
Reescrevendo como equação de oscilador harmônico \ddot\theta + \omega^2\theta=0, obtemos a relação entre a frequência angular \omega e os parâmetros do pêndulo:
\omega^2=\frac{m g d}{I_{\text{pivô}}}.ô

Passo 3

Relação entre frequência linear f e frequência angular \omega:
\omega = 2\pi f.
Aqui \,f é a frequência em hertz e \omega tem unidades de \mathrm{rad/s}. Vou calcular \omega com os dados do enunciado:
\omega = 2\pi(0,450)=0,900\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 2,827433\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Isolando I_{\text{pivô}}ô da fórmula \omega^2=\dfrac{m g d}{I_{\text{pivô}}}ô obtemos:
I_{\text{pivô}}=\frac{m g d}{\omega^2}.ô
Aqui cada símbolo significa:
  • m = massa do pêndulo ( \mathrm{kg}),
  • g = aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}), usarei g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão),
  • d = distância do pivô ao centro de massa ( \mathrm{m}),
  • \omega = frequência angular ( \mathrm{rad/s}).
Vou calcular o numerador e o denominador separadamente para ficar bem claro.

Passo 5

Cálculo do numerador m g d:
m g d = 3,6 \times 9,8 \times 0,64.
Fazendo as contas passo a passo:
3,6\times 0,64 = 2,304,
2,304\times 9,8 = 22,5792.
Logo \,m g d = 22,5792\\ \mathrm{N\cdot m} (ou \mathrm{kg\cdot m^2/s^2}).

Passo 6

Cálculo do denominador \omega^2:
\omega = 2\pi f = 2\pi(0,450)=0,900\pi,
\omega^2 = (0,900\pi)^2 = 0,81\pi^2.
Numericamente,
\omega^2 \approx 0,81\times 9,8696044 \approx 7,9943796\\ \mathrm{rad^2/s^2}.

Passo 7

Agora calculamos I_{\text{pivô}}ô:
I_{\text{pivô}}=\frac{22,5792}{7,9943796}\approx 2,824\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.ô
Expliquei antes cada termo; este é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo pivô.

Passo 8

Usando o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner) para relacionar o momento de inércia em torno do pivô com o momento de inércia em torno do centro de massa:
I_{\text{pivô}} = I_{\text{cm}} + m d^2,ô
onde I_{\text{cm}} é o momento de inércia em relação ao centro de massa. Portanto
I_{\text{cm}} = I_{\text{pivô}} - m d^2.ô

Passo 9

Calcule m d^2:
d^2 = (0,64)^2 = 0,4096,
m d^2 = 3,6\times 0,4096 = 1,47456\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 10

Finalmente calculamos I_{\text{cm}}:
I_{\text{cm}} = 2,824 - 1,47456 \approx 1,34944\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Arredondando com três algarismos significativos (coerente com os dados dados), fica \,I_{\text{cm}}\approx 1,35\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Resposta

I_{\text{cm}} \approx 1,35\\ \mathrm{kg\cdot m^2}

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