- Um pêndulo físico em forma de corpo achatado move-se com movimento harmônico simples com frequência de
. O pêndulo tem massa de
, e o pivô está localizado a
do centro de massa.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e (implícito) pede uma grandeza a ser determinada. Vou listar o que temos:
- Frequência do movimento harmônico simples:
. - Massa do pêndulo:
. - Distância do pivô ao centro de massa:
.
Vou assumir que o objetivo é determinar o momento de inércia do corpo em relação ao centro de massa (isto é uma pergunta padrão para esse tipo de enunciado). Se for outro objetivo, a técnica será parecida e posso adaptar depois.
Passo 2
Conceito físico importante — equação do pêndulo físico para pequenas oscilações:
Para um pêndulo físico que oscila com pequeno ângulo, o torque restaurador devido ao peso é aproximadamente proporcional ao ângulo . Aplicando a segunda lei de Newton para rotação obtemos a equação do movimento harmônico:
Para um pêndulo físico que oscila com pequeno ângulo, o torque restaurador devido ao peso é aproximadamente proporcional ao ângulo
onde:
-
é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo que passa pelo pivô, -
é a aceleração angular ( ), -
é a aceleração da gravidade, e -
é a distância do pivô ao centro de massa.
Reescrevendo como equação de oscilador harmônico
, obtemos a relação entre a frequência angular
e os parâmetros do pêndulo:
Passo 3
Relação entre frequência linear
e frequência angular
:
Aqui
é a frequência em hertz e
tem unidades de
. Vou calcular
com os dados do enunciado:
Passo 4
Isolando
da fórmula
obtemos:
Aqui cada símbolo significa:
-
= massa do pêndulo ( ), -
= aceleração da gravidade ( ), usarei (valor padrão), -
= distância do pivô ao centro de massa ( ), -
= frequência angular ( ).
Vou calcular o numerador e o denominador separadamente para ficar bem claro.
Passo 5
Cálculo do numerador
:
Fazendo as contas passo a passo:
Logo
(ou
).
Passo 6
Cálculo do denominador
:
Numericamente,
Passo 7
Agora calculamos
:
Expliquei antes cada termo; este é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo pivô.
Passo 8
Usando o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner) para relacionar o momento de inércia em torno do pivô com o momento de inércia em torno do centro de massa:
onde
é o momento de inércia em relação ao centro de massa. Portanto
Passo 9
Calcule
:
Passo 10
Finalmente calculamos
:
Arredondando com três algarismos significativos (coerente com os dados dados), fica
.