O que é constante de tempo, considerando um sistema de 1^{\text {a }} ordem? Como podemos calcular essa característica a partir da curva de resposta de um sistema? Faça um esboço do gráfico de resposta de 1^{\text {a }} ordem, indicando onde a constante de tempo é observada.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
Definir o que é a constante de tempo para um sistema de primeira ordem.
Explicar como calcular essa constante a partir da curva de resposta do sistema (isto é, dado o gráfico de resposta a um degrau, como obter \tau).
Fazer um esboço do gráfico de resposta de primeira ordem e indicar, nesse esboço, onde a constante de tempo é observada.
Informações relevantes que já temos (implícitas no enunciado):
Estamos tratando de um sistema de primeira ordem cuja resposta típica a um degrau é monótona e assintótica a um valor final.
Podemos considerar o caso padrão: entrada degrau de amplitude A e resposta que parte de um valor inicial (por simplicidade muitas vezes y(0)=0) e tende a um valor em regime permanente y_\infty.
Passo 2
Modelo matemático padrão e significado das variáveis (sem pular etapas).
Um sistema linear de primeira ordem pode ser escrito pela equação diferencial
\tau \frac{dy}{dt} + y(t) = K\,u(t),
onde:
\tau é a constante de tempo (o que queremos interpretar e medir);
y(t) é a saída do sistema (função do tempo);
u(t) é a entrada (no nosso caso, um degrau de amplitude A);
K é o ganho estático do sistema (valor de saída em regime permanente por unidade de entrada).
Explicação: \tau tem unidade de tempo e multiplica a derivada; ele determina quão rápido a saída muda em resposta à entrada. Small \tau → resposta rápida; grande \tau → resposta lenta.
Passo 3
Resolver a equação para entrada degrau (passo a passo).
Considere uma entrada degrau u(t)=A para t\ge 0 e condição inicial y(0)=y_0. A equação é
\tau \frac{dy}{dt} + y(t) = K A.
Esta é uma ODE linear de primeira ordem. Podemos rearranjar e usar fator integrante, mas há uma solução padrão conhecida. A solução geral é
y(t)=y_\infty + (y_0 - y_\infty)\,e^{-t/\tau},
onde y_\infty é o valor em regime permanente, obtido fazendo a derivada nula (equilíbrio):
y_\infty = K A.
Comentário passo-a-passo da forma: o termo exponencial e^{-t/\tau} descreve a parte transitória que decai com tempo característico \tau.
Passo 4
Interpretação da constante de tempo \tau a partir da solução.
Pegando o caso mais simples y_0=0 e y_\infty=K A, a solução fica
y(t)=K A\left(1 - e^{-t/\tau}\right).
A constante de tempo \tau é o tempo que faz o fator exponencial diminuir para e^{-1}. Em termos da saída, em t=\tau temos
Numericamente 1-\frac{1}{e}\approx 0{,}632. Portanto, interpretação útil e prática:
\tau é o tempo necessário para a resposta atingir 63{,}2\% da variação total do degrau (isto é, 63{,}2\% de \Delta y = y_\infty - y_0).
Passo 5
Métodos práticos para calcular \tau a partir da curva de resposta (métodos usados na prova ou em laboratório).
Método 1 — tempo para 63{,}2\%:
Meça y_\infty (valor em regime permanente) e y_0.
Ache o tempo t tal que
y(t)=y_0 + 0{,}632\,(y_\infty - y_0).
Esse tempo t é uma estimativa de \tau.
Método 2 — tangente em t=0 (método da reta tangente):
A derivada inicial é \left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=0} = \frac{y_\infty - y_0}{\tau}.
A reta tangente em t=0 é
y_{\text{tang}}(t) = y_0 + \left(\frac{y_\infty - y_0}{\tau}\right) t.
Essa reta intercepta o valor final y_\infty no tempo t=\tau (basta resolver y_{\text{tang}}(t)=y_\infty). Logo, desenhando a tangente no início da curva e vendo onde ela alcança y_\infty dá \tau.
Método 3 — calcular \tau a partir de qualquer ponto medido:
Se em t=t_1 você mede y_1=y(t_1), da solução geral isolamos \tau:
t=4\tau → aproximadamente 98{,}2\%.
Esses valores ajudam a checar se sua estimativa de \tau faz sentido olhando a curva.
Passo 7
Dicas práticas para medir \tau em curvas experimentais (ajuda na hora da prova/experimento):
Primeiro estime bem y_\infty (promediando a saída após o transiente).
Se houver ruído, prefira o método da tangente ou ajuste exponencial por mínimos quadrados (se permitido).
Se a curva não é puramente exponencial, pode haver modelos de ordem maior ou atraso — aí o método precisa ser revisto; mas supondo que é realmente 1ª ordem, os métodos acima valem.
Passo 8
Esboço do gráfico da resposta de primeira ordem e indicação de \tau.
Esboço (ASCII simplificado) com marcações; os rótulos usam a notação matemática:
y
↑
| ············ y∞ = y_\infty
| ··
| ··
| ··
| ··
| ··
| ··
| ··
|·
+--------------------------------→ t
0 τ
↑
|----> tempo t = τ onde y(τ)=y_0 + 0{,}632(y_\infty-y_0)
Explicação do esboço:
A curva parte de y_0 em t=0 e sobe de forma assintótica até y_\infty.
A marcação vertical em t=\tau indica o ponto onde a saída vale y(\tau)=y_0+0{,}632\,(y_\infty-y_0).
A tangente no início (não desenhada separadamente no ASCII) interceptaria y_\infty exatamente em t=\tau.
Resposta
Constante de tempo \tau: é o tempo característico do decaimento/transiente em um sistema de primeira ordem; em resposta a um degrau ela representa o tempo necessário para a saída atingir 63{,}2\% da variação total, isto é, para y(t) chegar a y_0 + 0{,}632\,(y_\infty-y_0).
Como calcular \tau a partir da curva: medir o tempo até y(t)=y_0 + 0{,}632\,(y_\infty-y_0) (esse tempo é \tau); alternativamente usar a tangente em t=0 e ver onde ela intercepta y_\infty (interseção em t=\tau); de modo geral, a partir de um ponto y(t_1)=y_1 usar \displaystyle \tau = -\frac{t_1}{\ln\!\left(\dfrac{y_1 - y_\infty}{y_0 - y_\infty}\right)}.
Esboço do gráfico: curva exponencial crescente desde y_0 até y_\infty, com marcação em t=\tau onde y(\tau)=y_0+0{,}632\,(y_\infty-y_0); a tangente em t=0 intercepta y_\infty no tempo \tau.