Explique o que é um sistema de 2^{\mathrm{a}} ordem: superamortecido, criticamente amortecido, subamortecido e não-amortecido.

Passo 1

Você pediu uma explicação do que é um sistema de 2^{\mathrm{a}} ordem e as quatro classificações: superamortecido, criticamente amortecido, subamortecido e não-amortecido. As informações que vou usar/explicar são:
  • a forma canônica da equação diferencial de segunda ordem homogênea;
  • os parâmetros que aparecem nela (frequência natural e razão de amortecimento);
  • a equação característica e as suas raízes;
  • as formas gerais das soluções para cada caso e interpretações físicas/temporais;
  • fórmulas úteis em prova (tempo de pico, frequência amortecida, overshoot, tempo de acomodação);
  • um exemplo numérico para consolidar o procedimento.

Passo 2

Escrevendo a equação padrão: a forma homogênea mais usada é
\ddot{y}(t) + 2\zeta\omega_n \dot{y}(t) + \omega_n^2 y(t) = 0.
Explicando cada símbolo:
  • y(t) é a saída (função do tempo) que queremos estudar.
  • \dot{y}(t)=\dfrac{dy}{dt} e \ddot{y}(t)=\dfrac{d^2y}{dt^2}.
  • \omega_n>0 é a frequência natural (em rad/s) do sistema sem amortecimento.
  • \zeta é a razão de amortecimento (adimensional). Ela mede quão “forte” é o efeito amortecedor relativo à inércia e à rigidez do sistema.
Um modelo físico típico (mecânico) é a equação massa-mola-amortecedor
m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0,
da qual obtemos
\omega_n = \sqrt{\dfrac{k}{m}},\qquad \zeta = \dfrac{c}{2\sqrt{km}}.
Na prova, frequentemente você recebe uma equação com coeficientes e precisa reescrever na forma padrão para achar \omega_n e \zeta.

Passo 3

A equação característica associada é
s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0.
As raízes são
s = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1}.
O comportamento do sistema depende do sinal do termo dentro da raiz, isto é, de \zeta^2-1. Equivalente: depende se \zeta é maior, igual ou menor que 1. Esses três (na verdade quatro) casos são exatamente as classificações pedidas.

Passo 4

  • Condição: \zeta>1. Então \zeta^2-1>0 e as raízes s são reais e distintas:
s_1 = -\zeta\omega_n + \omega_n\sqrt{\zeta^2-1},\qquad s_2 = -\zeta\omega_n - \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}.
  • Solução geral: uma combinação de expoentes reais
y(t) = A e^{s_1 t} + B e^{s_2 t}.
  • Características: não há oscilações (sem seno/cosseno), a resposta decai monotonicamente para zero; o decaimento pode ser lento se as raízes forem próximas de zero. É “mais amortecido do que o necessário” para evitar oscilações.
  • Em prova: calcule \zeta e veja que é >1; então escreva as duas exponenciais. Se for pedido tempo de acomodação, use a raiz dominante (a que tem maior parte real menos negativa) para estimar a constante de tempo.

Passo 5

  • Condição: \zeta=1. Então a equação característica tem uma raiz dupla:
s = -\omega_n\quad(\text{dupla}).
  • Solução geral:
y(t) = (A + Bt)\,e^{-\omega_n t}.
  • Características: sem oscilações; entre todas as respostas não oscilatórias, é a que retorna mais rápido ao equilíbrio sem oscilar (é a “fronteira” entre oscilar e não oscilar). Frequentemente aparece em projetos que buscam o retorno mais rápido sem overshoot.
  • Em prova: reconheça a raiz dupla e use a forma com t e^{-\omega_n t}.

Passo 6

  • Condição: 0<\zeta<1. Então \zeta^2-1<0 e as raízes são complexas conjugadas:
s = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
Defina a frequência amortecida
\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
  • Solução geral (forma real):
y(t) = e^{-\zeta\omega_n t}\big(C\cos(\omega_d t) + D\sin(\omega_d t)\big).
  • Características: há oscilações cuja amplitude decai exponencialmente com taxa e^{-\zeta\omega_n t}. Aparecem overshoot e pico. Esse é o caso mais “dinâmico” e muito comum.
  • Fórmulas úteis (muito pedidas em provas):
    • Tempo de pico:
    T_p = \dfrac{\pi}{\omega_d} = \dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}.
    • Overshoot percentual aproximado:
    \text{PO} = e^{-\dfrac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times 100\%.
    • Tempo de acomodação (critério de 4\%, regra prática):
    T_s \approx \dfrac{4}{\zeta\omega_n}.
  • Em prova: calcule \omega_n e \zeta, obtenha \omega_d e escreva a solução com seno/cosseno. Use as fórmulas para calcular T_p, PO ou T_s quando pedirem resposta temporal.

Passo 7

  • Condição: \zeta=0. A equação fica
\ddot{y} + \omega_n^2 y = 0,
com raízes puramente imaginárias s=\pm j\omega_n.
  • Solução geral:
y(t) = C\cos(\omega_n t) + D\sin(\omega_n t).
  • Características: oscilações permanentes de amplitude constante (não há decaimento), sistema conserva energia idealmente. Em aplicações reais isso é pouco comum porque sempre existe algum amortecimento, mas é útil como modelo idealizado.
  • Em prova: identifique \zeta=0 e escreva a solução harmônica.

Passo 8

  1. Pegue a equação dada e coloque na forma \ddot{y}+2\zeta\omega_n\dot{y}+\omega_n^2 y=0. Normalmente você compara coeficientes ou divide por coeficiente de \ddot{y}.
  2. Encontre \omega_n e \zeta (p.ex.: se tiver \ddot{y}+4\dot{y}+25y=0, então 2\zeta\omega_n=4 e \omega_n^2=25 etc.).
  3. Compare \zeta com 1:
    • \zeta>1 -> superamortecido;
    • \zeta=1 -> criticamente amortecido;
    • 0<\zeta<1 -> subamortecido;
    • \zeta=0 -> não-amortecido.
  4. Use a forma de solução correspondente (exponenciais reais, termo com t, exponencial vezes seno/cosseno, ou seno/cosseno puro).
  5. Se pedirem características (overshoot, T_p, T_s), aplique as fórmulas do Passo 6.

Passo 9

Considere
\ddot{y} + 4\dot{y} + 25y = 0.
  1. Identificamos \omega_n^2 = 25\Rightarrow \omega_n = 5.
  2. Temos 2\zeta\omega_n = 4. Substituindo \omega_n: 2\zeta\cdot 5 = 4 \Rightarrow \zeta = \dfrac{4}{10} = 0{,}4.
  3. Como 0<\zeta<1, o sistema é subamortecido.
  4. A frequência amortecida:
\omega_d = 5\sqrt{1-0{,}4^2} = 5\sqrt{1-0{,}16} = 5\sqrt{0{,}84}\approx 4{,}5826.
  1. Solução geral:
y(t) = e^{-0{,}4\cdot 5\,t}\big(C\cos(4{,}5826\,t) + D\sin(4{,}5826\,t)\big) = e^{-2t}\big(C\cos(4{,}5826t) + D\sin(4{,}5826t)\big).
  1. Tempo de pico:
T_p = \dfrac{\pi}{\omega_d}\approx \dfrac{\pi}{4{,}5826}\approx 0{,}686\\ \text{s}.
  1. Overshoot aproximado:
\text{PO} = e^{-\dfrac{0{,}4\pi}{\sqrt{1-0{,}4^2}}}\times 100\%\approx e^{-0{,}4\pi/0{,}9165}\times100\%\approx 28\%.
Esse exemplo mostra exatamente como proceder numa prova: encontrar \omega_n,\zeta,\omega_d, classificar e usar as fórmulas.

Passo 10

  • Intuição fácil: quanto maior \zeta mais “amortecido”; \zeta=1 é o limite entre oscilar e não oscilar; \zeta=0 oscila para sempre; \zeta>1 “mata” oscilações sem nenhum sobe-desce, mas pode demorar mais para voltar.
  • Para esboçar respostas em prova: marque a taxa exponencial e^{-\zeta\omega_n t} (envelope), e dentro dele coloque oscilações de frequência \omega_d se \zeta<1.
  • Se vir coeficientes, pratique extrair \omega_n por raiz quadrada do coeficiente de y e \zeta dividindo o coeficiente de \dot{y} por 2\omega_n.
  • Lembre-se: \zeta<0 indica amortecimento negativo (instabilidade) — não pediu, mas é útil saber checar sinais.

Resposta

Superamortecido: \zeta>1. Duas raízes reais distintas s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}. Solução y(t)=Ae^{s_1 t}+Be^{s_2 t}. Sem oscilações, decaimento monotônico.
Criticamente amortecido: \zeta=1. Raiz dupla s=-\omega_n. Solução y(t)=(A+Bt)e^{-\omega_n t}. Retorno mais rápido sem oscilar.
Subamortecido: 0<\zeta<1. Raízes complexas s=-\zeta\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}. Solução y(t)=e^{-\zeta\omega_n t}(C\cos\omega_d t + D\sin\omega_d t) com \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}. Oscilações amortecidas; fórmulas úteis: T_p=\dfrac{\pi}{\omega_d}, \text{PO}=e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}\! \times 100\%, T_s\approx\dfrac{4}{\zeta\omega_n}.
Não-amortecido: \zeta=0. Raízes s=\pm j\omega_n. Solução y(t)=C\cos(\omega_n t)+D\sin(\omega_n t). Oscilações perpetuamente periódicas (amplitude constante).

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