Explique o que é um sistema de
ordem: superamortecido, criticamente amortecido, subamortecido e não-amortecido.
Passo 1
Você pediu uma explicação do que é um sistema de
ordem e as quatro classificações: superamortecido, criticamente amortecido, subamortecido e não-amortecido. As informações que vou usar/explicar são:
- a forma canônica da equação diferencial de segunda ordem homogênea;
- os parâmetros que aparecem nela (frequência natural e razão de amortecimento);
- a equação característica e as suas raízes;
- as formas gerais das soluções para cada caso e interpretações físicas/temporais;
- fórmulas úteis em prova (tempo de pico, frequência amortecida, overshoot, tempo de acomodação);
- um exemplo numérico para consolidar o procedimento.
Passo 2
Escrevendo a equação padrão: a forma homogênea mais usada é
Explicando cada símbolo:
-
é a saída (função do tempo) que queremos estudar. -
e . -
é a frequência natural (em rad/s) do sistema sem amortecimento. -
é a razão de amortecimento (adimensional). Ela mede quão “forte” é o efeito amortecedor relativo à inércia e à rigidez do sistema.
Um modelo físico típico (mecânico) é a equação massa-mola-amortecedor
da qual obtemos
Na prova, frequentemente você recebe uma equação com coeficientes e precisa reescrever na forma padrão para achar
e
.
Passo 3
A equação característica associada é
As raízes são
O comportamento do sistema depende do sinal do termo dentro da raiz, isto é, de
. Equivalente: depende se
é maior, igual ou menor que
. Esses três (na verdade quatro) casos são exatamente as classificações pedidas.
Passo 4
- Condição:
. Então e as raízes são reais e distintas:
- Solução geral: uma combinação de expoentes reais
- Características: não há oscilações (sem seno/cosseno), a resposta decai monotonicamente para zero; o decaimento pode ser lento se as raízes forem próximas de zero. É “mais amortecido do que o necessário” para evitar oscilações.
- Em prova: calcule
e veja que é ; então escreva as duas exponenciais. Se for pedido tempo de acomodação, use a raiz dominante (a que tem maior parte real menos negativa) para estimar a constante de tempo.
Passo 5
- Condição:
. Então a equação característica tem uma raiz dupla:
- Solução geral:
- Características: sem oscilações; entre todas as respostas não oscilatórias, é a que retorna mais rápido ao equilíbrio sem oscilar (é a “fronteira” entre oscilar e não oscilar). Frequentemente aparece em projetos que buscam o retorno mais rápido sem overshoot.
- Em prova: reconheça a raiz dupla e use a forma com
.
Passo 6
- Condição:
. Então e as raízes são complexas conjugadas:
Defina a frequência amortecida
- Solução geral (forma real):
- Características: há oscilações cuja amplitude decai exponencialmente com taxa
. Aparecem overshoot e pico. Esse é o caso mais “dinâmico” e muito comum. - Fórmulas úteis (muito pedidas em provas):
- Tempo de pico:
- Overshoot percentual aproximado:
- Tempo de acomodação (critério de
, regra prática):
- Em prova: calcule
e , obtenha e escreva a solução com seno/cosseno. Use as fórmulas para calcular , PO ou quando pedirem resposta temporal.
Passo 7
- Condição:
. A equação fica
com raízes puramente imaginárias
.
- Solução geral:
- Características: oscilações permanentes de amplitude constante (não há decaimento), sistema conserva energia idealmente. Em aplicações reais isso é pouco comum porque sempre existe algum amortecimento, mas é útil como modelo idealizado.
- Em prova: identifique
e escreva a solução harmônica.
Passo 8
- Pegue a equação dada e coloque na forma
. Normalmente você compara coeficientes ou divide por coeficiente de . - Encontre
e (p.ex.: se tiver , então e etc.). - Compare
com : -
-> superamortecido; -
-> criticamente amortecido; -
-> subamortecido; -
-> não-amortecido.
-
- Use a forma de solução correspondente (exponenciais reais, termo com
, exponencial vezes seno/cosseno, ou seno/cosseno puro). - Se pedirem características (overshoot,
, ), aplique as fórmulas do Passo 6.
Passo 9
Considere
- Identificamos
. - Temos
. Substituindo : . - Como
, o sistema é subamortecido. - A frequência amortecida:
- Solução geral:
- Tempo de pico:
- Overshoot aproximado:
Esse exemplo mostra exatamente como proceder numa prova: encontrar
, classificar e usar as fórmulas.
Passo 10
- Intuição fácil: quanto maior
mais “amortecido”; é o limite entre oscilar e não oscilar; oscila para sempre; “mata” oscilações sem nenhum sobe-desce, mas pode demorar mais para voltar. - Para esboçar respostas em prova: marque a taxa exponencial
(envelope), e dentro dele coloque oscilações de frequência se . - Se vir coeficientes, pratique extrair
por raiz quadrada do coeficiente de e dividindo o coeficiente de por . - Lembre-se:
indica amortecimento negativo (instabilidade) — não pediu, mas é útil saber checar sinais.
Resposta
Superamortecido:
. Duas raízes reais distintas
. Solução
. Sem oscilações, decaimento monotônico.
Criticamente amortecido:
. Raiz dupla
. Solução
. Retorno mais rápido sem oscilar.
Subamortecido:
. Raízes complexas
. Solução
com
. Oscilações amortecidas; fórmulas úteis:
,
,
.
Não-amortecido:
. Raízes
. Solução
. Oscilações perpetuamente periódicas (amplitude constante).