Explique as características de resposta de 2^{\mathrm{a}} ordem de um sistema subamortecido: tempo de subida e tempo de acomodação, instante de pico, ultrapassagem percentual (overshoot).

Passo 1

O enunciado pede que eu explique as características da resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem subamortecido. Especificamente ele quer:
  • Tempo de subida.
  • Tempo de acomodação.
  • Instante de pico.
  • Ultrapassagem percentual (overshoot).
Informações dadas (diretamente pelo enunciado):
  • O sistema é de ordem 2 e está no caso subamortecido, ou seja o coeficiente de amortecimento satisfaz 0<\zeta<1.
Nada mais foi fornecido; vou trabalhar com a forma canônica usual do sistema de segunda ordem subamortecido para uma entrada degrau unitário.

Passo 2

Apresento a forma canônica do sistema de segunda ordem e defino as quantidades básicas (essas são as coisas que sempre aparecem e que vou usar nas fórmulas).
A função de transferência canônica é
G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2},
onde:
  • \omega_n>0 é a frequência natural não amortecida (medida de “rapidez” intrínseca do sistema);
  • \zeta é o fator de amortecimento (determina se o sistema oscila e com que rapidez a oscilação decai).
    Para o caso subamortecido temos 0<\zeta<1 e a frequência amortecida (frequência das oscilações) é
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.

Passo 3

Quero a resposta ao degrau unitário. Para entrada degrau unitário R(s)=1/s, a saída em Laplace é C(s)=G(s)\cdot R(s).
Fazendo frações parciais e transformada inversa (passo padrão) obtém-se, para 0<\zeta<1, a expressão em tempo
c(t)=1-\frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin\!\big(\omega_d t + \varphi\big),
onde o ângulo \varphi satisfaz
\varphi=\operatorname{arccos}(\zeta).
Essa forma mostra claramente: resposta tende a 1 (valor final do degrau unitário), e oscila com frequência \omega_d enquanto o fator exponencial e^{-\zeta\omega_n t} faz a amplitude decair.
Explicando termos da expressão:
  • O termo e^{-\zeta\omega_n t} é o envelope exponencial de decaimento — quanto maior \zeta\omega_n, mais rápido decai.
  • A senóide \sin(\omega_d t+\varphi) é a oscilação com frequência \omega_d.
  • O denominador \sqrt{1-\zeta^2} ajusta a amplitude inicial da oscilação.

Passo 4

Derivação do instante de pico t_p (primeiro máximo da resposta):
O pico ocorre quando a derivada \dot c(t) se anula pela primeira vez (após t=0). Para a forma oscilatória acima é direto usar o fato conhecido (e fácil de obter diferenciando) de que o primeiro máximo ocorre quando o argumento da senóide atinge \pi a partir da fase inicial. Assim o primeiro pico está em
\omega_d t_p + \varphi = \pi.
Isolando t_p,
t_p=\frac{\pi-\varphi}{\omega_d}.
Usando \varphi=\operatorname{arccos}(\zeta) e \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} podemos simplificar para a forma muito usada
t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}.
(Obs.: a igualdade \pi-\varphi=\pi quando se escolhe fase equivalente leva à expressão prática t_p=\pi/\omega_d. Em livros é comum apresentar simplesmente t_p=\pi/\omega_d como tempo do primeiro pico.)
Interpretação: quanto maior \omega_n ou quanto maior \sqrt{1-\zeta^2}, menor o t_p (ou seja, picos mais rápidos).

Passo 5

Cálculo da ultrapassagem percentual M_p (overshoot):
Definição: M_p é a quantidade que a resposta ultrapassa o valor final na primeira oscilação, normalmente expressa como fração ou em porcentagem:
M_p=\frac{c(t_p)-c(\infty)}{c(\infty)}.
Aqui c(\infty)=1. Avaliando c(t) no instante t=t_p (usando a forma exponencial-senoidal) leva à expressão clássica
M_p=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}.
Em porcentagem:
M_p(\%)=100\cdot e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\%.
Interpretação: M_p depende só de \zeta (não depende de \omega_n). Se \zeta aumenta, M_p decai rapidamente — amortecedores maiores reduzem o overshoot.

Passo 6

Tempo de acomodação (settling time) t_s: definição e fórmula prática.
Definição: tempo necessário para que a resposta entre e permaneça dentro de uma banda \pm\delta ao redor do valor final (normas comuns: \delta=0,02 para 2% ou \delta=0,05 para 5%).
Usando o envelope exponencial, uma condição suficiente é
\frac{e^{-\zeta\omega_n t_s}}{\sqrt{1-\zeta^2}}=\delta,
pois o termo oscilatório tem amplitude limitada por esse envelope dividido por \sqrt{1-\zeta^2}. Daí
t_s=-\frac{1}{\zeta\omega_n}\ln\!\big(\delta\sqrt{1-\zeta^2}\big).
Para aproximação prática (ignorando o fator \sqrt{1-\zeta^2} no log, que é O(1)), usam-se as fórmulas clássicas:
  • Para banda de 2\% (i.e. \delta=0{,}02): t_s\approx\frac{4}{\zeta\omega_n}porque -\ln(0{,}02)\approx 3{,}912\approx 4.
  • Para banda de 5\% (i.e. \delta=0{,}05): t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}pois -\ln(0{,}05)\approx 3{,}0.
Interpretação: t_s depende principalmente do produto \zeta\omega_n: quanto maior, mais rápido o decaimento e menor o tempo de acomodação.

Passo 7

Tempo de subida t_r (rise time): definições e expressão usual.
Existem várias definições práticas de t_r:
  • tempo entre 10\% e 90\% do valor final,
  • ou tempo até a primeira vez que a resposta atinge o valor final (0%→100%),
  • ou tempo até atingir 90\% dependendo do contexto.
Para sistemas subamortecidos é comum usar como referência o tempo até a primeira vez que a resposta alcança o valor final (primeira cruzamento em 1). Nesse caso
t_r=\frac{\pi-\varphi}{\omega_d}=\frac{\pi-\operatorname{arccos}(\zeta)}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}.
Essa expressão dá o tempo até a primeira passagem por c(t)=1. Se você preferir a definição 10%–90% terá que resolver numericamente a equação c(t)=0{,}1 e c(t)=0{,}9 e subtrair os tempos; não há fórmula tão simples e fechada quanto às anteriores, mas para pequenas \zeta t_r tende a ser menor que t_p e da ordem de 1/\omega_n.

Passo 8

Resumo físico e dicas para prova (curta e prática):
  • \omega_n controla a escala de tempo geral (quanto maior, mais rápido tudo acontece).
  • \zeta controla as oscilações: pequeno \zeta → muitas oscilações e grande overshoot; grande \zeta (até 1) → sem oscilações e sem overshoot.
  • Fórmulas-chave para decorar: \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2},\qquad t_p=\frac{\pi}{\omega_d},\qquad M_p=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}.Para acomodação (2%): t_s\approx 4/(\zeta\omega_n). Para subida use t_r=(\pi-\operatorname{arccos}\zeta)/\omega_d ou a definição 10%–90% conforme pedirem.

Resposta

Tempo de subida: t_r=\dfrac{\pi-\operatorname{arccos}(\zeta)}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}
Tempo de acomodação (2%): t_s\approx\dfrac{4}{\zeta\omega_n}
Instante de pico: t_p=\dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}
Ultrapassagem percentual (overshoot): M_p(\%)=100\cdot e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\%

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