Explique as características de resposta de
ordem de um sistema subamortecido: tempo de subida e tempo de acomodação, instante de pico, ultrapassagem percentual (overshoot).
Passo 1
O enunciado pede que eu explique as características da resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem subamortecido. Especificamente ele quer:
- Tempo de subida.
- Tempo de acomodação.
- Instante de pico.
- Ultrapassagem percentual (overshoot).
Informações dadas (diretamente pelo enunciado):
- O sistema é de ordem 2 e está no caso subamortecido, ou seja o coeficiente de amortecimento satisfaz
.
Nada mais foi fornecido; vou trabalhar com a forma canônica usual do sistema de segunda ordem subamortecido para uma entrada degrau unitário.
Passo 2
Apresento a forma canônica do sistema de segunda ordem e defino as quantidades básicas (essas são as coisas que sempre aparecem e que vou usar nas fórmulas).
A função de transferência canônica é
A função de transferência canônica é
onde:
-
é a frequência natural não amortecida (medida de “rapidez” intrínseca do sistema); -
é o fator de amortecimento (determina se o sistema oscila e com que rapidez a oscilação decai).
Para o caso subamortecido temose a frequência amortecida (frequência das oscilações) é
Passo 3
Quero a resposta ao degrau unitário. Para entrada degrau unitário
, a saída em Laplace é
.
Fazendo frações parciais e transformada inversa (passo padrão) obtém-se, para , a expressão em tempo
Fazendo frações parciais e transformada inversa (passo padrão) obtém-se, para
onde o ângulo
satisfaz
Essa forma mostra claramente: resposta tende a
(valor final do degrau unitário), e oscila com frequência
enquanto o fator exponencial
faz a amplitude decair.
Explicando termos da expressão:
- O termo
é o envelope exponencial de decaimento — quanto maior , mais rápido decai. - A senóide
é a oscilação com frequência . - O denominador
ajusta a amplitude inicial da oscilação.
Passo 4
Derivação do instante de pico
(primeiro máximo da resposta):
O pico ocorre quando a derivada se anula pela primeira vez (após
). Para a forma oscilatória acima é direto usar o fato conhecido (e fácil de obter diferenciando) de que o primeiro máximo ocorre quando o argumento da senóide atinge
a partir da fase inicial. Assim o primeiro pico está em
O pico ocorre quando a derivada
Isolando
,
Usando
e
podemos simplificar para a forma muito usada
(Obs.: a igualdade
quando se escolhe fase equivalente leva à expressão prática
. Em livros é comum apresentar simplesmente
como tempo do primeiro pico.)
Interpretação: quanto maior
ou quanto maior
, menor o
(ou seja, picos mais rápidos).
Passo 5
Cálculo da ultrapassagem percentual
(overshoot):
Definição: é a quantidade que a resposta ultrapassa o valor final na primeira oscilação, normalmente expressa como fração ou em porcentagem:
Definição:
Aqui
. Avaliando
no instante
(usando a forma exponencial-senoidal) leva à expressão clássica
Em porcentagem:
Interpretação:
depende só de
(não depende de
). Se
aumenta,
decai rapidamente — amortecedores maiores reduzem o overshoot.
Passo 6
Tempo de acomodação (settling time)
: definição e fórmula prática.
Definição: tempo necessário para que a resposta entre e permaneça dentro de uma banda ao redor do valor final (normas comuns:
para 2% ou
para 5%).
Definição: tempo necessário para que a resposta entre e permaneça dentro de uma banda
Usando o envelope exponencial, uma condição suficiente é
pois o termo oscilatório tem amplitude limitada por esse envelope dividido por
. Daí
Para aproximação prática (ignorando o fator
no log, que é
), usam-se as fórmulas clássicas:
- Para banda de
(i.e. ): porque . - Para banda de
(i.e. ): pois .
Interpretação:
depende principalmente do produto
: quanto maior, mais rápido o decaimento e menor o tempo de acomodação.
Passo 7
Tempo de subida
(rise time): definições e expressão usual.
Existem várias definições práticas de :
Existem várias definições práticas de
- tempo entre
e do valor final, - ou tempo até a primeira vez que a resposta atinge o valor final (0%→100%),
- ou tempo até atingir
dependendo do contexto.
Para sistemas subamortecidos é comum usar como referência o tempo até a primeira vez que a resposta alcança o valor final (primeira cruzamento em 1). Nesse caso
Essa expressão dá o tempo até a primeira passagem por
. Se você preferir a definição 10%–90% terá que resolver numericamente a equação
e
e subtrair os tempos; não há fórmula tão simples e fechada quanto às anteriores, mas para pequenas
tende a ser menor que
e da ordem de
.
Passo 8
Resumo físico e dicas para prova (curta e prática):
-
controla a escala de tempo geral (quanto maior, mais rápido tudo acontece). -
controla as oscilações: pequeno → muitas oscilações e grande overshoot; grande (até 1) → sem oscilações e sem overshoot. - Fórmulas-chave para decorar:
Para acomodação (2%): . Para subida use ou a definição 10%–90% conforme pedirem.
Resposta
Tempo de subida:
Tempo de acomodação (2%):
Instante de pico:
Ultrapassagem percentual (overshoot):
Tempo de acomodação (2%):
Instante de pico:
Ultrapassagem percentual (overshoot):