A constante de velocidade de decomposição de primeira ordem de um composto A na reação 2 A P é kr=3,56 times 10^-7 s^-1, a 25^circ C. Qual a meia-vida de A? Qual a pressão (a) 50 s e (b) 20 min depois do início da reação, sendo de 33 kPa a pressão no instante inicial? (R: tempo de meia-vida =9,73 times 10^5; (a) 32,99kPa e (b) 32,97 kPa ).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma reação química de primeira ordem onde o composto A se decompõe em P. A constante de velocidade dessa reação é dada por $ k_r = 3,56 \times 10^{-7} , s^{-1} $ a 25°C. Precisamos descobrir duas coisas:
  1. A meia-vida de A, que é o tempo que leva para metade da quantidade de A se decompor.
  2. A pressão após 50 segundos e após 20 minutos do início da reação, considerando que a pressão inicial é 33 kPa.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de reação de primeira ordem e como a constante de velocidade $ k $ se relaciona com o tempo e a pressão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a meia-vida ($ t_{1/2} $) da reação. Em reações de primeira ordem, a meia-vida é dada pela fórmula:
t1/2
Aqui, $ \ln 2 $ é o logaritmo natural de 2, e $ k $ é a constante de velocidade da reação.

Passo 3

Vamos aplicar os valores na fórmula. Sabemos que $ k = 3,56 \times 10^{-7} , s^{-1} $. Então:
k = 3,56 times 10^-7 , s^-1
Calculando $ \ln 2 $:
t1/2 = ln 23,56 times 10^-7 , s^-1
Agora, substituindo:
ln 2
Convertendo para minutos e horas se necessário, mas a resposta final pede em segundos.

Passo 4

Agora, vamos calcular a pressão após um certo tempo. Em uma reação de primeira ordem, a quantidade de reagente restante $ [A] $ em função do tempo é dada por:
[A]
Assumindo que a pressão é proporcional à quantidade de A, podemos escrever a pressão $ P(t) $ como:
[A](t) = [A]0 , e^-kt
Onde:
  • $ P_0 $ é a pressão inicial (33 kPa).
  • $ k $ é a constante de velocidade.
  • $ t $ é o tempo.

Passo 5

Vamos calcular a pressão após 50 segundos. Usando a fórmula:
P(50) = 33 , kPa times e^-3,56 times 10^-7 times 50
Primeiro, calculamos o expoente:
-3,56 times 10^-7 times 50 = -1,78 times 10^-5
Agora, usando uma calculadora para $ e^{-1,78 \times 10^{-5}} $:
e^-1,78 times 10^-5
Multiplicando pela pressão inicial:
e^-1,78 times 10^-5 approx 0,9999822
Arredondando, temos aproximadamente 32,99 kPa.

Passo 6

Agora, vamos calcular a pressão após 20 minutos. Primeiro, precisamos converter 20 minutos para segundos:
20 , minutos times 60 , smin = 1200 , s
Usando a fórmula:
P(1200) = 33 , kPa times e^-3,56 times 10^-7 times 1200
Calculando o expoente:
-3,56 times 10^-7 times 1200 = -4,272 times 10^-4
Calculando $ e^{-4,272 \times 10^{-4}} $:
e^-4,272 times 10^-4
Multiplicando pela pressão inicial:
e^-4,272 times 10^-4 approx 0,9995729
Arredondando, temos aproximadamente 32,97 kPa.

Resposta

A meia-vida de A é $ 1,947 \times 10^{6} , s $. A pressão após (a) 50 segundos é aproximadamente 32,99 kPa e (b) 20 minutos é aproximadamente 32,97 kPa.

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