A constante de velocidade de decomposição de primeira ordem de um composto A na reação
é
, a
. Qual a meia-vida de A? Qual a pressão (a) 50 s e (b) 20 min depois do início da reação, sendo de 33 kPa a pressão no instante inicial? (R: tempo de meia-vida
; (a) 32,99kPa e (b)
).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma reação química de primeira ordem onde o composto A se decompõe em P. A constante de velocidade dessa reação é dada por $ k_r = 3,56 \times 10^{-7} , s^{-1} $ a 25°C. Precisamos descobrir duas coisas:
- A meia-vida de A, que é o tempo que leva para metade da quantidade de A se decompor.
- A pressão após 50 segundos e após 20 minutos do início da reação, considerando que a pressão inicial é 33 kPa.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de reação de primeira ordem e como a constante de velocidade $ k $ se relaciona com o tempo e a pressão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a meia-vida ($ t_{1/2} $) da reação. Em reações de primeira ordem, a meia-vida é dada pela fórmula:
Aqui, $ \ln 2 $ é o logaritmo natural de 2, e $ k $ é a constante de velocidade da reação.
Passo 3
Vamos aplicar os valores na fórmula. Sabemos que $ k = 3,56 \times 10^{-7} , s^{-1} $. Então:
Calculando $ \ln 2 $:
Agora, substituindo:
Convertendo para minutos e horas se necessário, mas a resposta final pede em segundos.
Passo 4
Agora, vamos calcular a pressão após um certo tempo. Em uma reação de primeira ordem, a quantidade de reagente restante $ [A] $ em função do tempo é dada por:
Assumindo que a pressão é proporcional à quantidade de A, podemos escrever a pressão $ P(t) $ como:
Onde:
- $ P_0 $ é a pressão inicial (33 kPa).
- $ k $ é a constante de velocidade.
- $ t $ é o tempo.
Passo 5
Vamos calcular a pressão após 50 segundos. Usando a fórmula:
Primeiro, calculamos o expoente:
Agora, usando uma calculadora para $ e^{-1,78 \times 10^{-5}} $:
Multiplicando pela pressão inicial:
Arredondando, temos aproximadamente 32,99 kPa.
Passo 6
Agora, vamos calcular a pressão após 20 minutos. Primeiro, precisamos converter 20 minutos para segundos:
Usando a fórmula:
Calculando o expoente:
Calculando $ e^{-4,272 \times 10^{-4}} $:
Multiplicando pela pressão inicial:
Arredondando, temos aproximadamente 32,97 kPa.
Resposta
A meia-vida de A é $ 1,947 \times 10^{6} , s $. A pressão após (a) 50 segundos é aproximadamente 32,99 kPa e (b) 20 minutos é aproximadamente 32,97 kPa.