A constante de velocidade da decomposição de primeira ordem de um composto
na reação
é de
, a
. Qual a meia vida de
? Qual a pressão parcial do composto (a) 10 s e (b) 10 min depois do início da reação, sendo de
a pressão inicial?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Dado:
(pressão parcial inicial de
no instante
)
Perguntas:
- Qual é a meia‑vida de
? - Qual é a pressão parcial de
(a) e (b) depois do início da reação?
Passo 2
Entendimento do que significa “reação de primeira ordem” em termos matemáticos (aqui é importante aprender a fórmula que vamos usar).
Para uma reação em que a velocidade é proporcional à concentração de , a lei integrada da primeira ordem é:
Para uma reação em que a velocidade é proporcional à concentração de
onde:
-
é a concentração de no tempo , -
é a concentração inicial (em ), -
é a constante de velocidade ( ), -
é a base dos logaritmos naturais, -
é o tempo (em s).
Explicação didática: essa fórmula vem de integrar a equação diferencial
. A solução é uma exponencial decrescente: a concentração cai multiplicada por
a cada instante.
Passo 3
Relação entre pressão e concentração (por que podemos usar a fórmula acima para pressão).
Se o sistema é gasoso e temperatura e volume são constantes, a pressão parcial de é proporcional à sua concentração (lei dos gases ideais). Logo a pressão segue a mesma lei exponencial:
Se o sistema é gasoso e temperatura e volume são constantes, a pressão parcial de
onde
é a pressão parcial no tempo
e
é a pressão inicial.
Passo 4
Definição de meia‑vida para reação de primeira ordem e dedução da fórmula da meia‑vida.
Meia‑vida é o tempo necessário para que a concentração (ou pressão) caia para metade do valor inicial:
Meia‑vida
Usando a lei integrada:
Cancelando
dos dois lados:
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
Como
, obtemos a fórmula padrão:
Aqui
. Essa fórmula é muito útil porque, para reações de primeira ordem, a meia‑vida não depende da concentração inicial — só depende de
.
Passo 5
Cálculo numérico da meia‑vida usando
.
Aplicando a fórmula:
Aplicando a fórmula:
Calculemos:
Convertendo para minutos (opcional):
.
Passo 6
Fórmula para a pressão em função do tempo (vamos aplicar para os dois instantes pedidos):
com
e
.
Passo 7
Cálculo de
.
Primeiro calcule o expoente:
Primeiro calcule o expoente:
Agora
. Podemos aproximar por expansão ou usar calculadora mental:
(uso da expansão
dá valor muito próximo).
Portanto:
Portanto:
(Arredondei para três algarismos significativos coerentes com
.)
Passo 8
Cálculo de
. Primeiro converta 10 min em segundos:
Calcule o expoente:
Agora
. Aproximação:
Logo:
Passo 9
Resumo numérico (verificação rápida de ordem de grandeza): a meia‑vida é algumas centenas de segundos (cerca de 4 minutos), logo em
a pressão praticamente não mudou; em
(≈2,4 meia‑vidas) a pressão caiu bastante — isto bate com os valores calculados.