A constante de velocidade da decomposição de primeira ordem de um composto A na reação 2 A \rightarrow P é de \mathrm{k}=2,78 \times 10^{-3} \mathrm{~s}^{-1}, a 25^{\circ} \mathrm{C}. Qual a meia vida de A ? Qual a pressão parcial do composto (a) 10 s e (b) 10 min depois do início da reação, sendo de 32,1 \mathrm{kPa} a pressão inicial?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Dado:
k = 2,78 \times 10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}
p_0 = 32,1\\ \mathrm{kPa}
(pressão parcial inicial de A no instante t=0)
Perguntas:
  1. Qual é a meia‑vida de A?
  2. Qual é a pressão parcial de A (a) 10\\ \mathrm{s} e (b) 10\\ \mathrm{min} depois do início da reação?

Passo 2

Entendimento do que significa “reação de primeira ordem” em termos matemáticos (aqui é importante aprender a fórmula que vamos usar).
Para uma reação em que a velocidade é proporcional à concentração de A, a lei integrada da primeira ordem é:
[A](t) = [A]_0\,e^{-kt}
onde:
  • [A](t) é a concentração de A no tempo t,
  • [A]_0 é a concentração inicial (em t=0),
  • k é a constante de velocidade ( \mathrm{s}^{-1}),
  • e é a base dos logaritmos naturais,
  • t é o tempo (em s).
Explicação didática: essa fórmula vem de integrar a equação diferencial \dfrac{d[A]}{dt} = -k[A]. A solução é uma exponencial decrescente: a concentração cai multiplicada por e^{-kt} a cada instante.

Passo 3

Relação entre pressão e concentração (por que podemos usar a fórmula acima para pressão).
Se o sistema é gasoso e temperatura e volume são constantes, a pressão parcial de A é proporcional à sua concentração (lei dos gases ideais). Logo a pressão segue a mesma lei exponencial:
p(t) = p_0\,e^{-kt}
onde p(t) é a pressão parcial no tempo t e p_0 é a pressão inicial.

Passo 4

Definição de meia‑vida para reação de primeira ordem e dedução da fórmula da meia‑vida.
Meia‑vida t_{1/2} é o tempo necessário para que a concentração (ou pressão) caia para metade do valor inicial:
[A](t_{1/2}) = \tfrac{1}{2}[A]_0.
Usando a lei integrada:
\tfrac{1}{2}[A]_0 = [A]_0\,e^{-k t_{1/2}}.
Cancelando [A]_0 dos dois lados:
\tfrac{1}{2} = e^{-k t_{1/2}}.
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -k t_{1/2}.
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2, obtemos a fórmula padrão:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Aqui \ln 2 \approx 0,693147. Essa fórmula é muito útil porque, para reações de primeira ordem, a meia‑vida não depende da concentração inicial — só depende de k.

Passo 5

Cálculo numérico da meia‑vida usando k = 2,78 \times 10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Aplicando a fórmula:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} = \frac{0,693147}{2,78\times 10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}}.
Calculemos:
t_{1/2} \approx \frac{0,693147}{0,00278}\approx 249{,}7\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos (opcional): 249{,}7\\ \mathrm{s} \div 60 \approx 4{,}16\\ \mathrm{min}.

Passo 6

Fórmula para a pressão em função do tempo (vamos aplicar para os dois instantes pedidos):
p(t) = p_0\,e^{-kt},
com p_0 = 32{,}1\\ \mathrm{kPa} e k = 2{,}78\times 10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 7

Cálculo de p(10\\ \mathrm{s}).
Primeiro calcule o expoente:
-kt = -\bigl(2{,}78\times 10^{-3}\bigr)\times 10 = -0{,}0278.
Agora e^{-0{,}0278}. Podemos aproximar por expansão ou usar calculadora mental:
e^{-0{,}0278}\approx 0{,}972586 (uso da expansão e^{-x}\approx 1-x + x^2/2 dá valor muito próximo).
Portanto:
p(10\\ \mathrm{s}) = 32{,}1\times 0{,}972586 \approx 31{,}2\\ \mathrm{kPa}.
(Arredondei para três algarismos significativos coerentes com k.)

Passo 8

Cálculo de p(10\\ \mathrm{min}). Primeiro converta 10 min em segundos:
10\\ \mathrm{min} = 600\\ \mathrm{s}.
Calcule o expoente:
-kt = -\bigl(2{,}78\times 10^{-3}\bigr)\times 600 = -1{,}668.
Agora e^{-1{,}668}. Aproximação:
e^{-1{,}668}\approx 0{,}1887.
Logo:
p(600\\ \mathrm{s}) = 32{,}1\times 0{,}1887 \approx 6{,}06\\ \mathrm{kPa}.

Passo 9

Resumo numérico (verificação rápida de ordem de grandeza): a meia‑vida é algumas centenas de segundos (cerca de 4 minutos), logo em 10\\ \mathrm{s} a pressão praticamente não mudou; em 10\\ \mathrm{min} (≈2,4 meia‑vidas) a pressão caiu bastante — isto bate com os valores calculados.

Resposta

t_{1/2}=249{,}7\\ \mathrm{s}\\ (\approx 4{,}16\\ \mathrm{min})
(a)\\ p(10\\ \mathrm{s})=31{,}2\\ \mathrm{kPa}
(b)\\ p(10\\ \mathrm{min})=6{,}06\\ \mathrm{kPa}

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