A meia vida de uma reação de primeira ordem é independente da sua concentração inicial. Deduza a equação que comprova essa afirmação.
Passo 1
O enunciado pede para deduzir uma equação que comprove que a meia-vida é independente da concentração inicial no caso de uma reação de primeira ordem. Informações dadas (resumidas e claras):
- A reação é de primeira ordem em relação à espécie cuja concentração chamaremos de
. - Devemos obter a expressão da meia-vida
e mostrar que ela não depende de (concentração inicial). - Não há outros dados numéricos; temos que trabalhar simbolicamente com a constante de velocidade
e com .
Passo 2
Escrevendo a lei de velocidade para reação de primeira ordem: a velocidade de queda da concentração é proporcional à concentração atual. Em forma diferencial:
onde
é a constante de velocidade (positiva) e
é a concentração no tempo
.
Explicação didática: essa equação diz que quanto maior
, mais rápido ela diminui, proporcionalmente. O sinal negativo indica decaimento (a concentração diminui com o tempo).
Passo 3
Separação de variáveis para poder integrar (técnica básica): coloquemos todos os termos com
de um lado e
do outro:
Explicação didática: separar variáveis significa escrever a diferencial de forma que apenas uma variável e sua diferencial apareçam de cada lado, para que possamos integrar em relação a cada uma.
Passo 4
Integramos os dois lados. Integrar de
até
e de
até
para impor a condição inicial automaticamente:
As integrais resultam em logaritmos e fator linear em
:
Explicação didática: a integral de
é
. O uso dos limites resolve a constante de integração automaticamente: aplicando os limites obtemos a diferença dos logaritmos.
Passo 5
Reescrevendo a igualdade de forma mais conveniente:
Exponenciando ambos os lados para isolar
:
e portanto
Explicação didática: essa é a lei integrada da reação de primeira ordem — mostra que a concentração decai exponencialmente com tempo. Aqui
é o valor em
.
Passo 6
Definição prática de meia-vida
: é o tempo necessário para que a concentração caia à metade do valor inicial. Portanto, impondo
na expressão integrada:
Cancelamos
de ambos os lados (aqui já se vê que o resultado poderá não depender de
):
Explicação didática: como
aparece multiplicando no lado direito, ele some ao dividir, o que já é um indício de independência.
Passo 7
Tomamos logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Sabendo que
, obtemos
Isolando
:
Explicação didática:
garante que
seja positivo. O ponto crucial é que
não aparece nessa fórmula final — a meia-vida depende apenas de
.
Passo 8
Interpretação final e reforço: a fórmula deduzida
prova que, para reação de primeira ordem, a meia-vida é independente da concentração inicial
. Se quisermos um número aproximado,
, então
.
Explicação adicional (exemplo concreto): se
, então
unidades de tempo, independentemente de eu começar com
ou
.