A meia vida de uma reação de primeira ordem é independente da sua concentração inicial. Deduza a equação que comprova essa afirmação.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir uma equação que comprove que a meia-vida é independente da concentração inicial no caso de uma reação de primeira ordem. Informações dadas (resumidas e claras):
  • A reação é de primeira ordem em relação à espécie cuja concentração chamaremos de [A].
  • Devemos obter a expressão da meia-vida t_{1/2} e mostrar que ela não depende de [A]_0 (concentração inicial).
  • Não há outros dados numéricos; temos que trabalhar simbolicamente com a constante de velocidade k e com [A](t).

Passo 2

Escrevendo a lei de velocidade para reação de primeira ordem: a velocidade de queda da concentração é proporcional à concentração atual. Em forma diferencial:
\frac{d[A]}{dt} = -k [A],
onde k é a constante de velocidade (positiva) e [A]=[A](t) é a concentração no tempo t.
Explicação didática: essa equação diz que quanto maior [A], mais rápido ela diminui, proporcionalmente. O sinal negativo indica decaimento (a concentração diminui com o tempo).

Passo 3

Separação de variáveis para poder integrar (técnica básica): coloquemos todos os termos com [A] de um lado e t do outro:
\frac{d[A]}{[A]} = -k\, dt.
Explicação didática: separar variáveis significa escrever a diferencial de forma que apenas uma variável e sua diferencial apareçam de cada lado, para que possamos integrar em relação a cada uma.

Passo 4

Integramos os dois lados. Integrar de t=0 até t=t e de [A]=[A]_0 até [A]=[A](t) para impor a condição inicial automaticamente:
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]} = \int_{0}^{t} -k\, dt.
As integrais resultam em logaritmos e fator linear em t:
\ln\!\big([A](t)\big) - \ln\!\big([A]_0\big) = -k t.
Explicação didática: a integral de 1/x é \ln x. O uso dos limites resolve a constante de integração automaticamente: aplicando os limites obtemos a diferença dos logaritmos.

Passo 5

Reescrevendo a igualdade de forma mais conveniente:
\ln\!\left(\frac{[A](t)}{[A]_0}\right) = -k t.
Exponenciando ambos os lados para isolar [A](t):
\frac{[A](t)}{[A]_0} = e^{-k t}
e portanto
[A](t) = [A]_0\, e^{-k t}.
Explicação didática: essa é a lei integrada da reação de primeira ordem — mostra que a concentração decai exponencialmente com tempo. Aqui [A]_0 é o valor em t=0.

Passo 6

Definição prática de meia-vida t_{1/2}: é o tempo necessário para que a concentração caia à metade do valor inicial. Portanto, impondo [A](t_{1/2}) = \dfrac{[A]_0}{2} na expressão integrada:
\frac{[A]_0}{2} = [A]_0\, e^{-k t_{1/2}}.
Cancelamos [A]_0 de ambos os lados (aqui já se vê que o resultado poderá não depender de [A]_0):
\frac{1}{2} = e^{-k t_{1/2}}.
Explicação didática: como [A]_0 aparece multiplicando no lado direito, ele some ao dividir, o que já é um indício de independência.

Passo 7

Tomamos logaritmo natural em ambos os lados para resolver para t_{1/2}:
\ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = -k t_{1/2}.
Sabendo que \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln 2, obtemos
-\ln 2 = -k t_{1/2}.
Isolando t_{1/2}:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Explicação didática: k>0 garante que t_{1/2} seja positivo. O ponto crucial é que [A]_0 não aparece nessa fórmula final — a meia-vida depende apenas de k.

Passo 8

Interpretação final e reforço: a fórmula deduzida
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}
prova que, para reação de primeira ordem, a meia-vida é independente da concentração inicial [A]_0. Se quisermos um número aproximado, \ln 2 \approx 0,693, então t_{1/2}\approx 0{,}693/k.
Explicação adicional (exemplo concreto): se k=0{,}1\\ \text{(unidade de tempo)}^{-1}, então t_{1/2}\approx 6{,}93 unidades de tempo, independentemente de eu começar com [A]_0=1{,}0 ou [A]_0=10{,}0.

Resposta

t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}

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