Uma reação de segunda ordem do tipo
foi conduzida numa solução que inicialmente era
e
. Depois de
a concentração de
caiu para
. (a) Estime a constante de velocidade e (b) a meia vida dos reagentes.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) estimar a constante de velocidade e (b) determinar a meia-vida dos reagentes. As informações fornecidas são:
- Concentração inicial de
: . - Concentração inicial de
: . - Depois de
a concentração de é . - A reação é
e o enunciado diz que é de segunda ordem (no total).
Passo 2
Escolha do modelo cinético (por que usar este método):
- Quando nos dizem “reação de segunda ordem” e não dão outra informação, o modelo mais simples e usual é que a velocidade seja proporcional ao produto das concentrações de duas espécies, isto é,
- Justificativa: esse modelo corresponde a uma reação bimolecular entre
e (ordem total 2). Outra possibilidade seria uma dependência diferente (por exemplo ), mas isso não estaria compatível com a indicação explícita de uma reação entre e com este estequiométrico. Portanto usaremos .
Passo 3
Relação estequiométrica entre concentrações durante a reação:
- Se
é a quantidade (em mol dm ) de reagida, então
e, pela estequiometria
, a queda em
é
, logo
- Eliminando
para escrever em função de : , então
- Calcule a constante
com os números do enunciado:
- Assim durante a reação:
Passo 4
Montando e separando a equação diferencial:
- Usando
e substituindo em função de ,
- Separando variáveis:
Passo 5
Integração por frações parciais (passo a passo do cálculo analítico):
- Vamos integrar dos valores iniciais
até e de até :
- Faça frações parciais: queremos escrever
(Verificação rápida: colocar na forma comum devolve a igualdade.)
- Integrando:
- Aplicando os limites e igualando:
- Podemos reorganizar:
Passo 6
Cálculo numérico da constante de velocidade
usando os dados em
:
- Valores conhecidos:
, , , e é o valor de já calculado. - Calcule os termos:
- Razão dentro do ln:
- Tomando logaritmo natural:
- Da relação integrada:
logo
- Portanto, mantendo algarismos significativos sensatos, a constante de velocidade é
Passo 7
Meias-vidas dos reagentes (como determinar):
- "Meia-vida de
" significa o tempo para cair de para . - Observação prática:
e . Logo a meia-vida experimental de é
- Para
a meia-vida é o tempo para cair de para . Como as concentrações estão ligadas pela estequiometria, achamos primeiro o correspondente quando :
- Agora usamos a mesma relação integrada para encontrar
tal que . Aplicando
com
(valor obtido anteriormente), temos:
- Arredondando com coerência, a meia-vida de
é aproximadamente .