Uma reação de segunda ordem do tipo A+2 B \rightarrow P foi conduzida numa solução que inicialmente era 0,030 \mathrm{~mol} \mathrm{dm}^{-3} \mathrm{em} A e 0,075 \mathrm{~mol} \mathrm{dm}{ }^{-3} \mathrm{em} B. Depois de 1,0 \mathrm{~h} a concentração de A caiu para 0,015 \mathrm{~mol} \mathrm{dm}^{-3}. (a) Estime a constante de velocidade e (b) a meia vida dos reagentes.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) estimar a constante de velocidade e (b) determinar a meia-vida dos reagentes. As informações fornecidas são:
  • Concentração inicial de A: \, [A]_0 = 0,030\\ \mathrm{mol\,dm^{-3}}.
  • Concentração inicial de B: \, [B]_0 = 0,075\\ \mathrm{mol\,dm^{-3}}.
  • Depois de 1,0\\ \mathrm{h} a concentração de A é \, [A](1{,}0\\ \mathrm{h}) = 0,015\\ \mathrm{mol\,dm^{-3}}.
  • A reação é A + 2B \rightarrow P e o enunciado diz que é de segunda ordem (no total).

Passo 2

Escolha do modelo cinético (por que usar este método):
  • Quando nos dizem “reação de segunda ordem” e não dão outra informação, o modelo mais simples e usual é que a velocidade seja proporcional ao produto das concentrações de duas espécies, isto é,
v = -\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]\,[B].
  • Justificativa: esse modelo corresponde a uma reação bimolecular entre A e B (ordem total 2). Outra possibilidade seria uma dependência diferente (por exemplo k[A]^2), mas isso não estaria compatível com a indicação explícita de uma reação entre A e B com este estequiométrico. Portanto usaremos v = k[A][B].

Passo 3

Relação estequiométrica entre concentrações durante a reação:
  • Se x é a quantidade (em mol dm ^{-3}) de A reagida, então
[A] = [A]_0 - x,
e, pela estequiometria A + 2B, a queda em B é 2x, logo
[B] = [B]_0 - 2x.
  • Eliminando x para escrever [B] em função de [A]: x = [A]_0 - [A], então
[B] = [B]_0 - 2([A]_0 - [A]) = 2[A] + \bigl([B]_0 - 2[A]_0\bigr).
  • Calcule a constante \,c = [B]_0 - 2[A]_0 com os números do enunciado:
c = 0,075 - 2(0,030) = 0,075 - 0,060 = 0,015\\ \mathrm{mol\,dm^{-3}}.
  • Assim durante a reação:
[B] = 2[A] + 0,015.

Passo 4

Montando e separando a equação diferencial:
  • Usando v = k[A][B] e substituindo [B] em função de [A],
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]\left(2[A] + 0,015\right).
  • Separando variáveis:
\frac{d[A]}{[A]\left(2[A] + 0,015\right)} = -k\,dt.

Passo 5

Integração por frações parciais (passo a passo do cálculo analítico):
  • Vamos integrar dos valores iniciais [A]_0 até [A](t) e de 0 até t:
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]\left(2[A] + 0,015\right)} = -k\int_{0}^{t} dt.
  • Faça frações parciais: queremos escrever
\frac{1}{[A](2[A]+0,015)} = \frac{1}{0,015}\left(\frac{1}{[A]} - \frac{2}{2[A]+0,015}\right).
(Verificação rápida: colocar na forma comum devolve a igualdade.)
  • Integrando:
\int \frac{d[A]}{[A](2[A]+0,015)} = \frac{1}{0,015}\left(\ln [A] - \ln(2[A]+0,015)\right) + \text{const}.
  • Aplicando os limites e igualando:
\frac{1}{0,015}\Bigl(\ln\frac{[A](t)}{2[A](t)+0,015} - \ln\frac{[A]_0}{2[A]_0+0,015}\Bigr) = -k\,t.
  • Podemos reorganizar:
\ln\!\left(\frac{[A](t)/(2[A](t)+0,015)}{[A]_0/(2[A]_0+0,015)}\right) = -k\,(0,015)\,t.

Passo 6

Cálculo numérico da constante de velocidade k usando os dados em t=1{,}0\\ \mathrm{h}:
  • Valores conhecidos: [A]_0 = 0,030, [A](1{,}0) = 0,015, t = 1{,}0\\ \mathrm{h}, e 0,015 é o valor de c já calculado.
  • Calcule os termos:
\frac{[A]_0}{2[A]_0+0,015}=\frac{0,030}{2\cdot 0,030+0,015}=\frac{0,030}{0,075}=0,4.
\frac{[A](1{,}0)}{2[A](1{,}0)+0,015}=\frac{0,015}{2\cdot 0,015+0,015}=\frac{0,015}{0,045}=\tfrac{1}{3}\approx 0,333333.
  • Razão dentro do ln:
\frac{0,333333\ldots}{0,4} = 0,833333\ldots = \tfrac{5}{6}.
  • Tomando logaritmo natural:
\ln\!\left(\tfrac{5}{6}\right)\approx -0,18232156.
  • Da relação integrada:
-k\,(0,015)\,(1{,}0) = \ln\!\left(\tfrac{5}{6}\right),
logo
k = -\frac{1}{0,015\cdot 1{,}0}\,\ln\!\left(\tfrac{5}{6}\right) = \frac{0,18232156}{0,015} \approx 12,1548.
  • Portanto, mantendo algarismos significativos sensatos, a constante de velocidade é
k \approx 12{,}15\\ \mathrm{dm^{3}\,mol^{-1}\,h^{-1}}.

Passo 7

Meias-vidas dos reagentes (como determinar):
  • "Meia-vida de A" significa o tempo t_{1/2}(A) para [A](t) cair de [A]_0 para \tfrac{1}{2}[A]_0.
  • Observação prática: [A]_0 = 0,030 e [A](1{,}0\\ \mathrm{h}) = 0,015 = \tfrac{1}{2}\cdot 0,030. Logo a meia-vida experimental de A é
t_{1/2}(A) = 1{,}0\\ \mathrm{h}.
  • Para B a meia-vida é o tempo para [B] cair de [B]_0 = 0,075 para \tfrac{1}{2}[B]_0 = 0,0375. Como as concentrações estão ligadas pela estequiometria, achamos primeiro o correspondente [A] quando [B]=0,0375:
0,0375 = 2[A] + 0,015 \quad\Rightarrow\quad 2[A] = 0,0225 \quad\Rightarrow\quad [A]=0,01125.
  • Agora usamos a mesma relação integrada para encontrar t tal que [A](t)=0,01125. Aplicando
\ln\!\left(\frac{[A](t)/(2[A](t)+0,015)}{[A]_0/(2[A]_0+0,015)}\right) = -k\,(0,015)\,t,
com k(0,015)=0,18232156 (valor obtido anteriormente), temos:
\frac{[A](t)}{2[A](t)+0,015} = \frac{0,01125}{2\cdot 0,01125+0,015}=\frac{0,01125}{0,0375}=0,3.
\text{Razão}=\frac{0,3}{0,4}=0,75,\qquad \ln(0,75)\approx -0,28768207.ã
t = -\frac{1}{k(0,015)}\ln(0,75) = \frac{0,28768207}{0,18232156}\approx 1,577\\ \mathrm{h}.
  • Arredondando com coerência, a meia-vida de B é aproximadamente 1,58\\ \mathrm{h}.

Resposta

k \approx 12{,}15\\ \mathrm{dm^{3}\,mol^{-1}\,h^{-1}}
t_{1/2}(A)=1{,}0\\ \mathrm{h} \,;\, t_{1/2}(B)\approx 1{,}58\\ \mathrm{h}

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