A constante de velocidade de uma determinada reação química a 27,5^{\circ} \mathrm{C} é quatro vezes maior que a sua constante de velocidade a 15^{\circ} \mathrm{C}.
a) Calcular a energia de ativação desta reação.
b) Calcular a razão de aumento entre 27,5^{\circ} \mathrm{C} e 40^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado diz que a constante de velocidade cresce 4 vezes ao subir de 15^\circ C para 27,5^\circ C. Isso remete à Lei de Arrhenius, que relaciona a constante de velocidade k com a temperatura absoluta T:
k = A \, e^{-E_a/(R\,T)}
onde E_a é a energia de ativação, R é a constante dos gases ideais ( 8,314\;\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}) e A é o fator pré-exponencial. Vamos usar a razão
\frac{k_2}{k_1} = \exp\Bigl[-\tfrac{E_a}{R}\Bigl(\tfrac{1}{T_2}-\tfrac{1}{T_1}\Bigr)\Bigr]
para (a) calcular E_a de T_1=15^\circ C a T_2=27,5^\circ C e depois (b) achar a razão k(40^\circ C)/k(27{,}5^\circ C).

Passo 2

Convertemos as temperaturas para Kelvin:
T_1 = 15^\circ C = 288{,}15\;\mathrm{K}, \quad T_2 = 27{,}5^\circ C = 300{,}65\;\mathrm{K}.
Sabendo que k_2/k_1 = 4, escrevemos
4 = \exp\!\Bigl[-\frac{E_a}{R}\Bigl(\frac{1}{300{,}65}-\frac{1}{288{,}15}\Bigr)\Bigr].
Fazendo logaritmo natural em ambos os lados:
\ln(4) = -\frac{E_a}{R}\Bigl(\tfrac{1}{300{,}65}-\tfrac{1}{288{,}15}\Bigr).

Passo 3

Isolamos E_a:
E_a = -R\,\frac{\ln(4)}{\bigl(\tfrac{1}{300{,}65}-\tfrac{1}{288{,}15}\bigr)}.
Calculando o denominador:
\frac{1}{300{,}65}-\frac{1}{288{,}15} \approx 0{,}0033270 - 0{,}0034691 = -0{,}0001421\;\mathrm{K^{-1}}.
Logo,
E_a = 8{,}314\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol\,K}} \cdot\frac{\ln(4)}{0{,}0001421} \approx 8{,}314\cdot\frac{1{,}3863}{0{,}0001421} \approx 8{1\,126}\;\mathrm{J/mol}.
Em kJ/mol:
E_a \approx 81{,}1\;\mathrm{kJ/mol}.

Passo 4

Para a razão entre 27{,}5^\circ C ( T_2=300{,}65\;\mathrm{K}) e 40^\circ C ( T_3=313{,}15\;\mathrm{K}), usamos
\frac{k_3}{k_2} = \exp\!\Bigl[-\frac{E_a}{R}\Bigl(\frac{1}{T_3}-\frac{1}{T_2}\Bigr)\Bigr].
Substituímos E_a = 8{1\,126}\;\mathrm{J/mol} e calculamos
\frac{1}{313{,}15}-\frac{1}{300{,}65} \approx 0{,}0031933 - 0{,}0033270 = -0{,}0001337\;\mathrm{K^{-1}}.
Assim,
\frac{k_3}{k_2} = \exp\!\Bigl[-\frac{81\,126}{8{,}314}\times(-0{,}0001337)\Bigr] = \exp\bigl[1{,}30\bigr] \approx 3{,}7.

Resposta

a) E_a \approx 81{,}1\;\mathrm{kJ/mol}.
b) A constante de velocidade em 40^\circ C é cerca de 3{,}7 vezes a de 27{,}5^\circ C.

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