A constante de velocidade para a hidrólise do ATP catalisada pela myosina a 46,4^{\circ} \mathrm{C} é igual ao dobro da velocidade a 39,9^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a energia de ativação para esta reação.
a) 88.647 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}.
b) 44.323 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}.
c) 88.647 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}.
d) 44.323 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura 1: \,39{,}9^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura 2: \,46{,}4^\circ\mathrm{C}.
    • A constante de velocidade à temperatura maior é o dobro da constante à temperatura menor, ou seja \dfrac{k_2}{k_1}=2, com k_2 em \,46{,}4^\circ\mathrm{C} e k_1 em \,39{,}9^\circ\mathrm{C}.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a energia de ativação E_a para a reação e escolher a alternativa correta entre:
      a) 88{,}647\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.
      b) 44{,}323\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.
      c) 88{,}647\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
      d) 44{,}323\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.

Passo 2

Apresentar a equação de Arrhenius e explicar variáveis. A equação de Arrhenius é
k = A \exp\!\left(-\frac{E_a}{R T}\right),
onde:
  • k é a constante de velocidade (dependente da temperatura),
  • A é o fator pré-exponencial (constante para a reação, aproximadamente independente de T num intervalo curto),
  • E_a é a energia de ativação (o que queremos),
  • R é a constante universal dos gases, R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}},
  • T é a temperatura em kelvin.
Ao comparar duas temperaturas podemos eliminar A. A relação entre duas constantes é
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)=\frac{E_a}{R}\!\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right).
Explicando: a diferença \dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2} aparece porque temperaturas maiores tornam o exponencial menos negativo, aumentando k.

Passo 3

Converter as temperaturas de Celsius para Kelvin (sempre usar kelvin na fórmula).
T_1 = 39{,}9^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 313{,}05\\ \mathrm{K},
T_2 = 46{,}4^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 319{,}55\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Substituir \dfrac{k_2}{k_1}=2 na fórmula e isolar E_a. Temos
\ln 2 = \frac{E_a}{R}\!\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right) \quad\Rightarrow\quad E_a = R\,\ln 2\;\bigg/\!\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right).

Passo 5

Calcular a diferença \dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2} de forma exata (fração):
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{T_2-T_1}{T_1 T_2}.
Aqui T_2-T_1=319{,}55-313{,}05=6{,}50\\ \mathrm{K}. O produto
T_1 T_2 = 313{,}05\times319{,}55 = 100\,035{,}1275\\ \mathrm{K^2}.
Logo
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{6{,}50}{100\,035{,}1275}=0{,}0000649956\\ \mathrm{K^{-1}}\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Calcular R\ln 2. Usando R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}} e \ln 2\approx0{,}693147,
R\ln 2 = 8{,}314\times0{,}693147 \approx 5{,}76315\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.

Passo 7

Calcular E_a dividindo:
E_a = \frac{5{,}76315}{0{,}0000649956}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}} \approx 88\,668\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Converter para \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}:
E_a \approx 88{,}668\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.
Por arredondamento e considerando pequenas diferenças numéricas no uso de R com mais/menos casas decimais, isso corresponde à alternativa com valor 88{,}647\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.

Passo 8

Interpretação final e escolha: o resultado está na escala de dezenas de \mathrm{kJ\\ mol^{-1}} e não em joules por mol (as opções (c) e (d) estão em J·mol^{-1} e são muito pequenas). A alternativa correta é a que dá a energia de ativação próxima ao valor calculado em \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.

Resposta

a) 88{,}647\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}

Exercícios relacionados