1. A constante de velocidade de primeira ordem da fotodissociação de A é 1,24 \times 10^{-3} \mathrm{~min}^{-1}. Calcule o tempo necessário para que a concentração de A caia até (a) 25 \% do valor inicial; (b) um sexto do valor inicial.

Passo 1

O enunciado fornece a constante de velocidade de primeira ordem k e pede os tempos necessários para a concentração de A cair a duas frações do valor inicial. Dados e perguntas extraídas:
  • Constante de velocidade: k = 1{,}24 \times 10^{-3}\\ \mathrm{min}^{-1}.
  • Perguntas:
    (a) tempo necessário para [A](t) = 25\% do valor inicial [A]_0;
    (b) tempo necessário para [A](t) = \tfrac{1}{6} do valor inicial [A]_0.

Passo 2

Princípio e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo).
  • Para uma reação de ordem 1 vale a equação diferencial
\frac{d[A]}{dt} = -k [A],
onde:
  • [A] é a concentração de A em função do tempo t,
  • k é a constante de velocidade (unidade de tempo^{-1}),
  • t é o tempo.
  • Separe variáveis e integre para obter a lei integrada. Fazendo separação:
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
Integra-se desde t=0 (concentração [A]_0) até tempo t (concentração [A](t)):
\int_{[A]_0}^{[A](t)}\frac{d[A]}{[A]} = -k \int_{0}^{t} dt.
A integral do lado esquerdo dá diferença de logaritmos naturais:
\ln\!\big([A](t)\big) - \ln\!\big([A]_0\big) = -k t.
Rearranjando obtemos a forma exponencial
[A](t) = [A]_0 e^{-k t}.
  • Para encontrar t quando conhecemos a razão \dfrac{[A](t)}{[A]_0}, isolamos t:
t = -\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{[A](t)}{[A]_0}\right) = \frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{[A]_0}{[A](t)}\right).
Aqui \ln é o logaritmo natural. Observe a propriedade \ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\ln x, que foi usada para trocar o sinal.

Passo 3

Cálculo para o caso (a): [A](t) = 25\% = 0{,}25\,[A]_0.
  • Usando a fórmula:
t = \frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{[A]_0}{[A](t)}\right) = \frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{1}{0{,}25}\right) = \frac{1}{k}\ln 4.
  • Valor numérico de \ln 4:
\ln 4 \approx 1{,}3862943611.
  • Substituindo k = 1{,}24\times10^{-3}\\ \mathrm{min}^{-1}:
t = \frac{1{,}3862943611}{1{,}24\times10^{-3}}\\ \mathrm{min} \approx 1118{,}63\\ \mathrm{min}.
  • Converter para horas (opcional, para intuição): 1118{,}63\\ \mathrm{min}\div 60 \approx 18{,}6438\\ \mathrm{h}, ou aproximadamente 18\\ \mathrm{h}\\\ 38\\ \mathrm{min}\\\ 38\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Cálculo para o caso (b): [A](t) = \tfrac{1}{6}[A]_0 \approx 0{,}166666\,[A]_0.
  • Usando a fórmula:
t = \frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{[A]_0}{[A](t)}\right) = \frac{1}{k}\ln\!6.
  • Valor numérico de \ln 6:
\ln 6 \approx 1{,}7917594692.
  • Substituindo k:
t = \frac{1{,}7917594692}{1{,}24\times10^{-3}}\\ \mathrm{min} \approx 1444{,}51\\ \mathrm{min}.
  • Converter para horas: 1444{,}51\\ \mathrm{min}\div 60 \approx 24{,}0752\\ \mathrm{h}, ou aproximadamente 24\\ \mathrm{h}\\\ 4\\ \mathrm{min}\\\ 31\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Observações finais rápidas e incentivo:
  • Os tempos calculados são grandes porque a constante k é pequena ( 10^{-3}\\ \mathrm{min}^{-1}), o que indica decaimento lento.
  • Se na prova pedirem apenas em minutos, use os valores em minutos; se pedirem em horas, converta como mostrado. Vai dar tudo certo — você consegue!

Resposta

(a) t \approx 1118{,}63\\ \mathrm{min} \approx 18{,}64\\ \mathrm{h}
(b) t \approx 1444{,}51\\ \mathrm{min} \approx 24{,}08\\ \mathrm{h}

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