A constante de velocidade para a reação \mathrm{H}_{2(\mathrm{~g})}+\mathrm{I}_{2(\mathrm{~g})} \rightarrow 2 \mathrm{HI}_{(\mathrm{g})}, foi medida a várias temperaturas e os dados encontrados foram os seguintes:
Temperatura \left({ }^{\circ} \mathbf{C}\right) 283 302 355 393 430
\mathbf{k}\left(\mathbf{L ~ m o l}^{-\mathbf{1}} \mathbf{s}^{-\mathbf{1}}\right) 1,2 \times 10^{-4} 3,5 \times 10^{-4} 6,8 \times 10^{-3} 3,8 \times 10^{-2} 1,7 \times 10^{-1}
Determine o valor da Energia de ativação, em \mathrm{KJ} \mathrm{mol}^{-1}, para essa reação.

Passo 1

O enunciado dá a constante de velocidade k medida em várias temperaturas e pede a energia de ativação E_a da reação. Dados fornecidos (peguei os valores diretamente da tabela do enunciado):
\begin{aligned} &T_1=283\\ ^\circ\mathrm{C},\quad k_1=1,2\times 10^{-4}\\ \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}},\\\ &T_2=302\\ ^\circ\mathrm{C},\quad k_2=3,5\times 10^{-4}\\ \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}},\\\ &T_3=355\\ ^\circ\mathrm{C},\quad k_3=6,8\times 10^{-3}\\ \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}},\\\ &T_4=393\\ ^\circ\mathrm{C},\quad k_4=3,8\times 10^{-2}\\ \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}},\\\ &T_5=430\\ ^\circ\mathrm{C},\quad k_5=1,7\times 10^{-1}\\ \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}}. \end{aligned}
O que se pede: determinar E_a em \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: converter temperaturas de graus Celsius para Kelvin. A fórmula é T(\mathrm{K})=T(^{\circ}\mathrm{C})+273,15. Faço isso para os pontos extremos (vou usar os extremos para maior precisão na estimativa):
\begin{aligned} &T_1=283+273,15=556,15\\ \mathrm{K},\\\ &T_5=430+273,15=703,15\\ \mathrm{K}. \end{aligned}

Passo 3

Apresentando a lei de Arrhenius e a ideia por trás da técnica usada: a dependência de k com T é
k=A\exp\!\left(-\frac{E_a}{RT}\right),
onde:
  • k é a constante de velocidade (o dado experimental),
  • A é o fator pré-exponencial (constante),
  • E_a é a energia de ativação (o que queremos),
  • R é a constante universal dos gases ( R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}),
  • T é a temperatura em Kelvin.
    Tomando logaritmo natural obtemos uma forma linear:
\ln k=\ln A - \frac{E_a}{R}\cdot\frac{1}{T},
ou seja, \ln k vs. 1/T é uma reta com declive -E_a/R. Para evitar ajustar reta a todos os pontos, podemos usar a forma de dois pontos:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)=-\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Dessa fórmula podemos isolar E_a:
E_a=-R\;\frac{\ln(k_2/k_1)}{(1/T_2-1/T_1)}.

Passo 4

Escolhi k_1,T_1 (mais baixa temperatura) e k_5,T_5 (mais alta temperatura) porque espalhar bem os pontos reduz o efeito de erros experimentais na estimativa de E_a. Agora aplico a fórmula com k_2=k_5 e T_2=T_5:
E_a=-R\;\frac{\ln\!\left(\dfrac{k_5}{k_1}\right)}{\left(\dfrac{1}{T_5}-\dfrac{1}{T_1}\right)}.

Passo 5

Calculo a razão entre as constantes e seu logaritmo natural. Peguei os k da tabela:
\frac{k_5}{k_1}=\frac{1,7\times 10^{-1}}{1,2\times 10^{-4}}=1416,666\ldots
\ln\!\left(\frac{k_5}{k_1}\right)\approx 7,253.

Passo 6

Calculo a diferença dos recíprocos das temperaturas (usei os T em Kelvin do Passo 2):
\frac{1}{T_5}-\frac{1}{T_1}=\frac{1}{703,15}-\frac{1}{556,15}\approx -0,0003759\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 7

Agora calculo E_a usando R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}:
E_a=-8,314\cdot\frac{7,253}{-0,0003759}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Faço a conta:
E_a\approx 160\,460\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Converto para \mathrm{kJ\,mol^{-1}} dividindo por 1000:
E_a\approx 160,5\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Resposta

E_a\approx 160,5\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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