A uréia \left(\mathrm{NH}_{2} \mathrm{CONH}_{2}\right) é o produto final do metabolismo de proteínas de animais. A decomposição da uréia em \mathrm{HCl} 0,100 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} ocorre de acordo com a reação:
\mathrm{NH}_{2} \mathrm{CONH}_{2}(\mathrm{aq})+\mathrm{H}^{+}{ }_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{l})} \rightarrow 2 \mathrm{NH}_{4}{ }^{+}{ }_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{HCO}_{3}{ }^{-}(\mathrm{aq})
A reação é de primeira ordem na uréia e de primeira ordem como um todo. Quando \left[\mathrm{NH}_{2} \mathrm{CONH}_{2}\right]=0,200 \mathrm{mol} \mathrm{L}^{-1}, a velocidade a 61,05^{\circ} é 8,56 \times 10^{-5} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}. [1]
a) Qual é o valor para a constante de velocidade, k ?
b) Qual é a concentração da uréia nessa solução depois de 5,00 \times 10^{3} \mathrm{~s} se a concentração inicial é 0,500 \mathrm{mol} \mathrm{L}^{-1} ?
c) Qual é a meia-vida (em minutos) para essa reação a 61,05^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado dá a reação de decomposição da uréia em meio ácido e fornece informações e perguntas claras. Vou listar tudo o que foi dado e o que é pedido, sem resolver nada ainda.
Informações fornecidas:
  • A reação é de primeira ordem na uréia e de primeira ordem como um todo (ou seja, a velocidade depende apenas da concentração da uréia).
  • Quando \left[\mathrm{NH}_{2}\mathrm{CONH}_{2}\right]=0,200\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}, a velocidade é 8,56\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}\\ s^{-1}} (medida a 61{,}05^\circ).
  • Há também informação sobre condição inicial para o item (b): concentração inicial \left[\mathrm{NH}_{2}\mathrm{CONH}_{2}\right]_0 = 0,500\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
  • O tempo pedido no item (b) é t=5{,}00\times 10^{3}\\ \mathrm{s}.
Perguntas do enunciado:
a) Qual é o valor da constante de velocidade k (na temperatura dada)?
b) Qual é a concentração da uréia depois de 5{,}00\times 10^{3}\\ \mathrm{s} se a concentração inicial é 0,500\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} ?
c) Qual é a meia-vida (em minutos) para essa reação a 61{,}05^\circ ?

Passo 2

Entender a lei de velocidade e como obter k a partir dos dados instantâneos.
Para uma reação de primeira ordem na espécie A (a uréia), a lei de velocidade tem a forma
v = k\,[\text{A}],
onde:
  • [\text{A}] é a concentração da uréia em \mathrm{mol\\ L^{-1}},
  • v é a velocidade instantânea em \mathrm{mol\\ L^{-1}\\ s^{-1}},
  • k é a constante de velocidade, com unidades de \mathrm{s^{-1}} para primeira ordem.
Aqui a espécie A é a uréia \mathrm{NH_{2}CONH_{2}}. Como o enunciado nos dá v e [\text{A}] em um instante, podemos isolar k:
k=\frac{v}{[\text{A}]}.
Substituindo os valores fornecidos:
k=\frac{8{,}56\times 10^{-5}}{0{,}200}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 3

Calculemos numericamente k com atenção às operações e às unidades.
Dividindo:
k= \frac{8{,}56\times 10^{-5}}{0{,}200}=4{,}28\times 10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Explicação de unidades: como v está em \mathrm{mol\\ L^{-1}\\ s^{-1}} e [\text{A}] em \mathrm{mol\\ L^{-1}}, ao dividir aparece \mathrm{s^{-1}}, que é a unidade correta para k em reação de primeira ordem.

Passo 4

Derivação da equação integrada de primeira ordem (muito útil para o item b).
Partimos da equação diferencial da cinética de primeira ordem:
\frac{d[\text{A}]}{dt} = -k\,[\text{A}],
onde o sinal negativo indica que [\text{A}] diminui com o tempo.
Separamos as variáveis e integramos:
\frac{d[\text{A}]}{[\text{A}]} = -k\,dt.
Integrando de t=0 (concentração [\text{A}]_0) até tempo t (concentração [\text{A}]_t):
\int_{[\text{A}]_0}^{[\text{A}]_t} \frac{d[\text{A}]}{[\text{A}]} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
Isso dá:
\ln\!\left(\frac{[\text{A}]_t}{[\text{A}]_0}\right) = -k t.
Rearranjando para [\text{A}]_t:
[\text{A}]_t = [\text{A}]_0\,e^{-k t}.
Esta é a fórmula que usaremos para calcular a concentração após um tempo t.

Passo 5

Aplicação da fórmula integrada para calcular a concentração após t=5{,}00\times 10^{3}\\ \mathrm{s} com [\text{A}]_0=0{,}500\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} e k=4{,}28\times 10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Primeiro calculemos o produto k t:
k t = 4{,}28\times 10^{-4}\times 5{,}00\times 10^{3} = 2{,}14.
Logo o expoente é -k t = -2{,}14. Agora aplicamos a exponencial:
[\text{A}]_t = 0{,}500\;e^{-2{,}14}.
Podemos avaliar e^{-2{,}14}. Usando aproximação:
e^{-2{,}14}\approx 0{,}1177
(uma forma prática: e^{-2}=0{,}1353 e \\ e^{-0{,}14}\approx 0{,}8696, multiplicando dá \approx0{,}1177).
Portanto:
[\text{A}]_t \approx 0{,}500\times 0{,}1177 = 0{,}05885\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Com três algarismos significativos (consistente com os dados), arredondamos para
[\text{A}]_t = 5{,}89\times 10^{-2}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.

Passo 6

Derivação da expressão da meia-vida para reação de primeira ordem e cálculo numérico.
A meia-vida t_{1/2} é o tempo necessário para que [\text{A}]_t = \tfrac{1}{2}[\text{A}]_0. Usando a equação integrada:
\ln\!\left(\frac{[\text{A}]_t}{[\text{A}]_0}\right) = -k t.
Substituindo [\text{A}]_t = \tfrac{1}{2}[\text{A}]_0:
\ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = -k t_{1/2}.
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2, obtemos:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Agora usamos k=4{,}28\times 10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}}:
t_{1/2} = \frac{0{,}693147}{4{,}28\times 10^{-4}} \approx 1{,}619{,}6\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos:
t_{1/2} = \frac{1{,}619{,}6}{60} \approx 26{,}99\\ \mathrm{min}.
Arredondando para três algarismos significativos:
t_{1/2} = 27{,}0\\ \mathrm{min}.

Resposta

a) k=4{,}28\times 10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}}
b) [\mathrm{NH_{2}CONH_{2}}]_{t=5{,}00\times 10^{3}\,\mathrm{s}}=5{,}89\times 10^{-2}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
c) t_{1/2}=27{,}0\\ \mathrm{min}

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