1. A constante de velocidade (k) para uma reação de primeira ordem é 4,6 \times 10^{-4} \mathrm{~s}^{-1} a 350^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a temperatura para a qual a constante de velocidade será 8,80 \times 10^{-4} \mathrm{~s}^{-1}, sabendo que a energia de ativação é 104 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (colocados de forma clara para usar depois):
  • Constante de velocidade inicial: k_1 = 4,6\times10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Temperatura associada a k_1: T_1 = 350^\circ\mathrm{C}.
  • Constante de velocidade desejada: k_2 = 8,80\times10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Energia de ativação: E_a = 104\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
O que o problema pede:
  • Calcular a temperatura T_2 (em que a constante de velocidade vale k_2).
Observação importante sobre unidades que vamos usar:
  • Converter temperatura para Kelvin: T(\mathrm{K}) = T(^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.
  • Converter energia de ativação para joules por mol quando for necessário: 1\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} = 10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.

Passo 2

Apresentar a equação que relaciona taxa e temperatura (Arrhenius) e explicar as letras:
A equação de Arrhenius diz que a constante de velocidade depende da temperatura segundo
k = A \exp\!\left(-\dfrac{E_a}{R\,T}\right),
onde:
  • k é a constante de velocidade (unidade depende da ordem, aqui \mathrm{s^{-1}});
  • A é o fator pré-exponencial (tenta representar a frequência efetiva de colisões);
  • E_a é a energia de ativação (em \mathrm{J\,mol^{-1}});
  • R é a constante universal dos gases ( R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}});
  • T é a temperatura absoluta em \mathrm{K}.
Explicação didática: não precisamos conhecer A. Se tivermos duas constantes k_1 e k_2 em duas temperaturas T_1 e T_2, dividindo as duas formas de Arrhenius e aplicando logaritmo natural obtemos uma forma que cancela A:
\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right) = -\dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right).
Essa é a fórmula que vamos usar — ela relaciona as constantes conhecidas e permite resolver T_2.

Passo 3

Fazer as conversões de unidade e escrever a equação para T_2.
  • Converter T_1 para Kelvin:
T_1 = 350^\circ\mathrm{C} = 350 + 273{,}15 = 623{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Converter E_a para joules por mol:
E_a = 104\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} = 104{,}000\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
A partir da equação do passo anterior isolamos 1/T_2:
\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right) = -\dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)
\Rightarrow \dfrac{1}{T_2} = \dfrac{1}{T_1} - \dfrac{R}{E_a}\,\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right).

Passo 4

Substituir os valores numéricos na expressão e calcular passo a passo (usar vírgula como separador decimal):
  • Valores a substituir:
    • k_1 = 4,6\times10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}}
    • k_2 = 8,80\times10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}}
    • T_1 = 623{,}15\\ \mathrm{K}
    • E_a = 104{,}000\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}
    • R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}
Calcular o logaritmo:
\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right)=\ln\!\left(\dfrac{8,80\times10^{-4}}{4,6\times10^{-4}}\right) =\ln(1{,}913043\ldots)\approx 0{,}6480.
Calcular o fator \dfrac{R}{E_a}:
\dfrac{R}{E_a}=\dfrac{8{,}314}{104{,}000}\approx 7{,}994\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}.
Multiplicar:
\dfrac{R}{E_a}\,\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right)\approx 7{,}994\times10^{-5}\times 0{,}6480 \approx 5{,}18\times10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 5

Calcular 1/T_2 e então T_2:
\dfrac{1}{T_1}=\dfrac{1}{623{,}15}\approx 0{,}00160475\\ \mathrm{K^{-1}}.
\dfrac{1}{T_2} = 0{,}00160475 - 0{,}0000518 \approx 0{,}00155295\\ \mathrm{K^{-1}}.
Agora inverter para obter T_2:
T_2 = \dfrac{1}{0{,}00155295}\approx 644\\ \mathrm{K}.
Converter para graus Celsius:
T_2 = 644\\ \mathrm{K} - 273{,}15 \approx 370{,}9^\circ\mathrm{C}\approx 371^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Resumo final interpretativo e dica para prova:
  • Aumentando a temperatura a constante de velocidade aumentou (era lógico: k_2>k_1).
  • Procedimento padrão na prova: usar a forma logarítmica da equação de Arrhenius para eliminar A, converter unidades (Kelvin e joules), calcular \ln(k_2/k_1), aplicar a fórmula para 1/T_2 e inverter. Guarda essa receita — é direto e rápido quando se organiza os passos como aqui.

Resposta

T_2 \approx 6,44\times10^{2}\\ \mathrm{K} = 371^\circ\mathrm{C}

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