Se a constante de velocidade para a reação triplica quando a temperatura aumenta de 300 K para 310 K , qual é a energia de ativação?

Passo 1

O enunciado diz que ao aumentar a temperatura de T_1 = 300\\ \text{K} para T_2 = 310\\ \text{K}, a constante de velocidade triplica, ou seja,
\frac{k_2}{k_1} = 3.
O conteúdo necessário é a lei de Arrhenius,
k = A \exp\bigl(-\frac{E_a}{R\,T}\bigr),
onde E_a é a energia de ativação e R é a constante dos gases.

Passo 2

Da lei de Arrhenius para duas temperaturas, temos
\frac{k_2}{k_1} = \exp\Bigl(-\frac{E_a}{R\,T_2} + \frac{E_a}{R\,T_1}\Bigr) = \exp\!\Bigl(\frac{E_a}{R}\bigl(\tfrac{1}{T_1}-\tfrac{1}{T_2}\bigr)\Bigr).
Tomando logaritmo natural,
\ln\bigl(\tfrac{k_2}{k_1}\bigr) = \frac{E_a}{R}\Bigl(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\Bigr).

Passo 3

Isolando E_a,
E_a = R\,\ln\bigl(\tfrac{k_2}{k_1}\bigr)\;\Bigl(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\Bigr)^{-1}.
Substituindo \tfrac{k_2}{k_1}=3, T_1=300\\ \text{K} e T_2=310\\ \text{K}, e usando R = 8,314\\ \text{J/(mol\cdotK)}:

Passo 4

Calculemos primeiro a diferença de inversos:
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2} = \frac{1}{300}-\frac{1}{310} \approx 3{,}333\times10^{-3}-3{,}226\times10^{-3} =1{,}074\times10^{-4}\\ \text{K}^{-1}.
E \ln 3\approx1{,}0986. Logo,
E_a = \frac{8{,}314\times1{,}0986}{1{,}074\times10^{-4}} \approx8{,}97\times10^{4}\\ \text{J/mol} \approx89{,}7\\ \text{kJ/mol}.
Arredondando, fica aproximadamente 85 a 90\\ \text{kJ/mol}.

Resposta

A energia de ativação é aproximadamente 8{,}9\times10^{4}\\ \text{J/mol} (ou 89\\ \text{kJ/mol}).

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