Com as constantes de van der waals para o gás
, calcular (a)
a temperatura de Boyle através da expansāo de van der waals para uma equação do virial em funçāo do volume molar. (Usar a equaçāo de vdw e expandi-la em função do volume molar, sabendo que quando o termo B for igual a zero, a temperatura a ser calculada é a temperatura de Boyle; lembrar que
e
. (b)
Defina
o que é temperatura de Boyle.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a temperatura de Boyle para o gás
usando as constantes de van der Waals e relacionando com a equação do virial em função do volume molar. Para isso, vamos precisar entender a equação de van der Waals e a temperatura de Boyle. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos recordar a equação de van der Waals, que é uma correção da equação dos gases ideais para levar em conta as interações entre as moléculas e o volume que elas ocupam. A equação é:
Aqui:
- $ P $ é a pressão,
- $ V_m $ é o volume molar,
- $ T $ é a temperatura,
- $ R $ é a constante dos gases,
- $ a $ e $ b $ são constantes específicas do gás que consideram as interações intermoleculares e o volume ocupado pelas moléculas, respectivamente.
Passo 3
Agora, queremos expandir essa equação em função do volume molar $ V_m $ para trazê-la à forma da equação do virial, que é uma série que corrige a equação dos gases ideais:
Onde $ B(T) $ é o segundo coeficiente virial, que depende da temperatura.
Passo 4
Vamos expandir a equação de van der Waals. Primeiro, dividimos ambos os lados por $ V_m $:
Agora, expandimos $ \frac{1}{V_m - b} $ usando a série de Taylor, onde assumimos que $ b $ é pequeno comparado a $ V_m $:
Passo 5
Substituindo essa expansão de volta na equação de pressão:
Simplificando e comparando com a equação do virial:
Então, o segundo coeficiente virial $ B(T) $ é:
Passo 6
A temperatura de Boyle é a temperatura na qual o segundo coeficiente virial $ B(T) $ é zero. Isso significa que:
Resolvendo para $ T_b $:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores fornecidos para $ a $, $ b $ e $ R $. Sabemos que:
Passo 8
Substituindo os valores na fórmula de $ T_b $:
Passo 9
Vamos calcular o denominador primeiro:
Então:
Resposta
A temperatura de Boyle para o
é aproximadamente 1025 K.