Com as constantes de van der waals para o gás CO2, calcular (a) (1,5 p) a temperatura de Boyle através da expansāo de van der waals para uma equação do virial em funçāo do volume molar. (Usar a equaçāo de vdw e expandi-la em função do volume molar, sabendo que quando o termo B for igual a zero, a temperatura a ser calculada é a temperatura de Boyle; lembrar que (1-x)^-1=1+ x+x^2+ldots ldots) cdot(a=3,61 atm dm^6 mol^-2 e b=4,29 times 10^-2 dm^3 mol^-1). (b) (0,5 p) Defina checkmark o que é temperatura de Boyle.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a temperatura de Boyle para o gás CO2 usando as constantes de van der Waals e relacionando com a equação do virial em função do volume molar. Para isso, vamos precisar entender a equação de van der Waals e a temperatura de Boyle. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos recordar a equação de van der Waals, que é uma correção da equação dos gases ideais para levar em conta as interações entre as moléculas e o volume que elas ocupam. A equação é:
(P + aVm^2)(Vm - b) = RT
Aqui:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ V_m $ é o volume molar,
  • $ T $ é a temperatura,
  • $ R $ é a constante dos gases,
  • $ a $ e $ b $ são constantes específicas do gás que consideram as interações intermoleculares e o volume ocupado pelas moléculas, respectivamente.

Passo 3

Agora, queremos expandir essa equação em função do volume molar $ V_m $ para trazê-la à forma da equação do virial, que é uma série que corrige a equação dos gases ideais:
Vm
Onde $ B(T) $ é o segundo coeficiente virial, que depende da temperatura.

Passo 4

Vamos expandir a equação de van der Waals. Primeiro, dividimos ambos os lados por $ V_m $:
Vm
Agora, expandimos $ \frac{1}{V_m - b} $ usando a série de Taylor, onde assumimos que $ b $ é pequeno comparado a $ V_m $:
P = RTVm - b - aVm^2

Passo 5

Substituindo essa expansão de volta na equação de pressão:
P = RTVm (1 + bVm + cdots ) - aVm^2
Simplificando e comparando com a equação do virial:
P = RTVm + RTbVm^2 - aVm^2 + cdots
Então, o segundo coeficiente virial $ B(T) $ é:
B(T)

Passo 6

A temperatura de Boyle é a temperatura na qual o segundo coeficiente virial $ B(T) $ é zero. Isso significa que:
B(T)
Resolvendo para $ T_b $:
B(Tb) = 0 Rightarrow b - aRTb = 0

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores fornecidos para $ a $, $ b $ e $ R $. Sabemos que:
a
b
R

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula de $ T_b $:
Tb

Passo 9

Vamos calcular o denominador primeiro:
(4,29 times 10^-2) times 0,0821 = 3,517 times 10^-3
Então:
Tb = 3,613,517 times 10^-3 approx 1025 , K

Resposta

A temperatura de Boyle para o CO2 é aproximadamente 1025 K.

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