Construa a classe de equivalência das seguintes frações:
d) \frac{2}{9}

Passo 1

O enunciado pede para “construir a classe de equivalência” da fração \tfrac{2}{9}. O conteúdo é o de relação de equivalência em frações: duas frações \tfrac{a}{b} e \tfrac{c}{d} (com b\neq0 e d\neq0) são equivalentes se e somente se ad=bc. Para resolver, vamos usar essa definição e caracterizar todos os pares (a,b) tais que \tfrac{a}{b}=\tfrac{2}{9}.

Passo 2

Definimos a relação \sim em
F = \{(a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\setminus\{0\}\}
por
(a,b)\sim(c,d)\quad\text{se, e somente se,}\quad ad = bc.
Queremos
[\, (2,9)\, ] = \{(a,b)\in F \mid (a,b)\sim(2,9)\}.

Passo 3

O par (a,b) satisfaz (a,b)\sim(2,9) exatamente quando
a\cdot 9 = 2\cdot b,
ou seja,
9a = 2b.

Passo 4

Da equação 9a=2b segue que a deve ser múltiplo de 2 e b múltiplo de 9. Escrevendo a=2k e b=9k (com k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}), vemos que todos os pares equivalentes a (2,9) são precisamente
\bigl(2k,\,9k\bigr),
pois então
\frac{2k}{9k} = \frac{2}{9}.

Resposta

A classe de equivalência de \tfrac{2}{9} é
\bigl\{\,(2k)/(9k)\mid k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\bigr\},
isto é, todas as frações obtidas multiplicando numerador e denominador de \tfrac{2}{9} por um mesmo inteiro não nulo.

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