Construa a classe de equivalência das seguintes frações:
b) \frac{3}{4}

Passo 1

O enunciado pede para construir a classe de equivalência da fração \tfrac{3}{4} no conjunto de todas as frações \frac{a}{b} (com a,b\in\mathbb{Z} e b\neq0), usando a relação
\frac{a}{b}\sim\frac{c}{d} \quad\Leftrightarrow\quad ad=bc.

Passo 2

Para achar todos os \frac{x}{y} equivalentes a \tfrac{3}{4}, impomos
\frac{x}{y}\sim\frac{3}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad 3y = 4x.

Passo 3

Da equação 3y=4x deduzimos
y = 4k, \quad x = 3k,
para algum inteiro k\neq0, de modo que \frac{x}{y}=\frac{3k}{4k}.

Passo 4

Portanto, todos os elementos da classe de \tfrac{3}{4} são da forma
\frac{3k}{4k}, \quad k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}.
Por exemplo, para k=2 temos \tfrac{6}{8}, para k=3 \tfrac{9}{12}, e para k=-1 \tfrac{-3}{-4}=\tfrac{3}{4}.

Resposta

\bigl[\tfrac{3}{4}\bigr] =\bigl\{\tfrac{3k}{4k}\mid k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\bigr\}.

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