Construa a curva de força do teste para H0: mu=15, H1: mu neq 15, em que n=9 ; sigma=2 e alpha=5 %. Admita: 12,0; 12,5; 13,0; 13,5; 14, 0; 14, 5 ; 15,0; 15, 5 ; 16,0 ; 16,5 ; 17,0 ; 17,5 ; 18,0 como possiveis hipoteses verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de teste de hipóteses. A gente quer testar se a média da população é igual a 15 (H₀: μ = 15) contra a alternativa de que ela é diferente de 15 (H₁: μ ≠ 15). Temos uma amostra de tamanho n = 9, com desvio padrão conhecido σ = 2 e nível de significância α = 5%. Além disso, consideramos várias possíveis médias verdadeiras: 12,0; 12,5; 13,0; 13,5; 14,0; 14,5; 15,0; 15,5; 16,0; 16,5; 17,0; 17,5; 18,0. Nosso objetivo é construir a curva de força do teste, que basicamente mostra a probabilidade de detectar diferenças reais na média.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores críticos para o nosso teste. Como é um teste bicaudal (H₁: μ ≠ 15), precisamos dividir o nível de significância α em duas partes: uma para cada lado da distribuição. Então, cada cauda terá α/2 = 2,5%.
Como nossa amostra é pequena (n = 9), usamos a distribuição t de Student. O grau de liberdade será df = n - 1 = 8.
Usando uma tabela t ou uma calculadora, encontramos os valores críticos para t com df = 8 e α/2 = 0,025. O valor crítico t_crit é aproximadamente ±2,306.

Passo 3

Agora, vamos calcular os limites críticos para a média. Usamos a fórmula:
Limite = barx pm tcrit times ( sigmaraizn )
Aqui, σ = 2 e n = 9, então o erro padrão é σ/√n = 2/3 ≈ 0,6667.
Então, os limites críticos são:
15 pm 2,306 times 0,6667 approx 15 pm 1,538
Portanto, os limites são aproximadamente 13,462 e 16,538.

Passo 4

Agora, para cada uma das possíveis médias verdadeiras que a gente considerou (12,0; 12,5; 13,0; 13,5; 14,0; 14,5; 15,0; 15,5; 16,0; 16,5; 17,0; 17,5; 18,0), vamos calcular a probabilidade de rejeitar H₀. Essa probabilidade é a força do teste ou power.
A fórmula para a power é:
Power = P( barx < 13,462 ou barx > 16,538 mid μverdadeiro )
Para calcular isso, vamos padronizar usando a distribuição normal:
Z = barx - μsigma / raizn
Então, para cada μ, calculamos os Z correspondentes a 13,462 e 16,538, e então encontramos a probabilidade de Z estar além desses pontos.

Passo 5

Vamos fazer esses cálculos para cada μ:
  1. μ = 12,0
    Z1 = 13,462 - 12,00,6667 approx 2,19
    Z2 = 16,538 - 12,00,6667 approx 6,82
    Usando a tabela Z:
    P(Z < 2,19) approx 0,9857
    P(Z > 6,82) approx 0
    Então, a power ≈ 0,9857 ou 98,57%.
  2. μ = 12,5
    Z1 = 13,462 - 12,50,6667 approx 1,44
    Z2 = 16,538 - 12,50,6667 approx 6,04
    P(Z < 1,44) approx 0,9251
    P(Z > 6,04) approx 0
    Power ≈ 92,51%.
E assim por diante para cada média verdadeira. Vamos resumir as probabilidades:
  • 12,0: ~98,57%
  • 12,5: ~92,51%
  • 13,0: ~83,53%
  • 13,5: ~71,69%
  • 14,0: ~56,32%
  • 14,5: ~37,69%
  • 15,0: ~23,13% (ponto de H₀)
  • 15,5: ~13,68%
  • 16,0: ~8,07%
  • 16,5: ~4,34%
  • 17,0: ~2,93%
  • 17,5: ~2,08%
  • 18,0: ~1,85%

Resposta

A curva de força do teste para as médias consideradas é a seguinte:
  • 12,0: 98,57%
  • 12,5: 92,51%
  • 13,0: 83,53%
  • 13,5: 71,69%
  • 14,0: 56,32%
  • 14,5: 37,69%
  • 15,0: 23,13%
  • 15,5: 13,68%
  • 16,0: 8,07%
  • 16,5: 4,34%
  • 17,0: 2,93%
  • 17,5: 2,08%
  • 18,0: 1,85%
Isso mostra a probabilidade de rejeitar a hipótese nula para cada média verdadeira considerada.

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