Construa a curva de força do teste para
, em que
e
. Admita: 12,0; 12,5; 13,0; 13,5; 14, 0; 14, 5 ; 15,0; 15,
como possiveis hipoteses verdadeiras.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de teste de hipóteses. A gente quer testar se a média da população é igual a 15 (
H₀: μ = 15
) contra a alternativa de que ela é diferente de 15 (H₁: μ ≠ 15
). Temos uma amostra de tamanho n = 9
, com desvio padrão conhecido σ = 2
e nível de significância α = 5%
. Além disso, consideramos várias possíveis médias verdadeiras: 12,0; 12,5; 13,0; 13,5; 14,0; 14,5; 15,0; 15,5; 16,0; 16,5; 17,0; 17,5; 18,0. Nosso objetivo é construir a curva de força do teste, que basicamente mostra a probabilidade de detectar diferenças reais na média.Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores críticos para o nosso teste. Como é um teste bicaudal (
H₁: μ ≠ 15
), precisamos dividir o nível de significância α
em duas partes: uma para cada lado da distribuição. Então, cada cauda terá α/2 = 2,5%
.Como nossa amostra é pequena (
n = 9
), usamos a distribuição t de Student. O grau de liberdade será df = n - 1 = 8
.Usando uma tabela t ou uma calculadora, encontramos os valores críticos para
t
com df = 8
e α/2 = 0,025
. O valor crítico t_crit
é aproximadamente ±2,306
.Passo 3
Agora, vamos calcular os limites críticos para a média. Usamos a fórmula:
Aqui,
σ = 2
e n = 9
, então o erro padrão é σ/√n = 2/3 ≈ 0,6667
.Então, os limites críticos são:
Portanto, os limites são aproximadamente
13,462
e 16,538
.Passo 4
Agora, para cada uma das possíveis médias verdadeiras que a gente considerou (12,0; 12,5; 13,0; 13,5; 14,0; 14,5; 15,0; 15,5; 16,0; 16,5; 17,0; 17,5; 18,0), vamos calcular a probabilidade de rejeitar H₀. Essa probabilidade é a força do teste ou power.
A fórmula para a power é:
Para calcular isso, vamos padronizar usando a distribuição normal:
Então, para cada
μ
, calculamos os Z
correspondentes a 13,462
e 16,538
, e então encontramos a probabilidade de Z
estar além desses pontos.Passo 5
Vamos fazer esses cálculos para cada
μ
:-
μ = 12,0Usando a tabela Z:Então, a power ≈
0,9857
ou 98,57%. -
μ = 12,5Power ≈ 92,51%.
E assim por diante para cada média verdadeira. Vamos resumir as probabilidades:
- 12,0: ~98,57%
- 12,5: ~92,51%
- 13,0: ~83,53%
- 13,5: ~71,69%
- 14,0: ~56,32%
- 14,5: ~37,69%
- 15,0: ~23,13% (ponto de H₀)
- 15,5: ~13,68%
- 16,0: ~8,07%
- 16,5: ~4,34%
- 17,0: ~2,93%
- 17,5: ~2,08%
- 18,0: ~1,85%
Resposta
A curva de força do teste para as médias consideradas é a seguinte:
- 12,0: 98,57%
- 12,5: 92,51%
- 13,0: 83,53%
- 13,5: 71,69%
- 14,0: 56,32%
- 14,5: 37,69%
- 15,0: 23,13%
- 15,5: 13,68%
- 16,0: 8,07%
- 16,5: 4,34%
- 17,0: 2,93%
- 17,5: 2,08%
- 18,0: 1,85%
Isso mostra a probabilidade de rejeitar a hipótese nula para cada média verdadeira considerada.