Sejam
uma amostra aleatória simples de uma população com média
e desvio padrão
. Considere os seguintes estimadores de
:
Qual estimador é o mais eficiente entre
e
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente comparar dois estimadores, o $ T_1 $ e o $ T_2 $, que são usados para estimar a média $ \mu $ de uma população. A matéria envolvida aqui é Estatística Inferencial, mais especificamente sobre Estimadores e Eficiência. Para resolver, a gente vai precisar entender o que é um estimador eficiente e calcular a variância de cada um dos estimadores para comparar qual é mais eficiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um estimador não viesado. Um estimador é não viesado se, em média, ele realmente estima o valor que queremos. Ou seja, a média dos valores estimados pelo estimador é igual à média verdadeira da população $ \mu $.
Vamos verificar se $ T_1 $ e $ T_2 $ são não viesados.
Para $ T_1 $:
Para $ T_2 $:
Então, tanto $ T_1 $ quanto $ T_2 $ são estimadores não viesados de $ \mu $.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre Eficiência. Um estimador mais eficiente tem uma variância menor, ou seja, seus valores estimados estão mais próximos da média verdadeira $ \mu $.
Para comparar a eficiência, vamos calcular a variância de cada estimador.
Sabemos que, se $ X_1, X_2, ···, X_7 $ são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias. E para um constante $ a $, $ Var(aX) = a^2 Var(X) $.
Para $ T_1 $:
Para $ T_2 $:
Passo 4
Agora que temos as variâncias:
- $ Var(T_1) = \frac{\sigma^2}{7} $
- $ Var(T_2) = \frac{\sigma^2}{5} $
Comparando essas duas variâncias:
Isso significa que $ Var(T_1) $ é menor que $ Var(T_2) $, ou seja, $ T_1 $ tem menor variância.
Resposta
O estimador $ T_1 $ é mais eficiente que o $ T_2 $, pois possui menor variância.