Em uma amostra aleatória simples com 200 edifícios com cinco anos, em certa cidade, 55 % apresentaram problemas estéticos relevantes após a entrega da obra. Construir um intervalo de confiança para a proporção de edifícios da cidade que apresentam problemas estéticos relevantes nos cinco primeiros anos. Use nível de confiança de 95 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente construir um intervalo de confiança para a proporção de edifícios que apresentam problemas estéticos relevantes nos primeiros cinco anos após a entrega da obra, usando uma amostra de 200 edifícios onde 55% tiveram esses problemas. Aqui, estamos lidando com estatística inferencial, especificamente com proporções. Para resolver, vamos precisar entender como calcular um intervalo de confiança para uma proporção com um nível de confiança de 95%.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Tamanho da amostra (n): 200 edifícios
  • Proporção amostral ( p): 55% ou 0,55

Passo 3

Vamos usar a fórmula do intervalo de confiança para uma proporção. A fórmula é:
p pm Z times raizp(1 - p)n
Aqui:
  • p é a proporção amostral.
  • Z é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de Z para um nível de confiança de 95%. Esse valor é 1,96, que corresponde aos 95% centrais da distribuição normal.

Passo 5

Vamos calcular o erro padrão ( EP), que é a parte dentro da raiz na fórmula:
EP = raizp(1 - p)n = raiz0,55 times (1 - 0,55)200 = raiz0,55 times 0,45200 = raiz0,2475200 approx raiz0,0012375 approx 0,0352

Passo 6

Com o erro padrão e o valor de Z em mãos, vamos calcular o intervalo de confiança:
0,55 pm 1,96 times 0,0352
Calculando a margem de erro:
1,96 times 0,0352 approx 0,069
Então, o intervalo fica:
0,55 - 0,069 = 0,481 e 0,55 + 0,069 = 0,619

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a proporção de edifícios que apresentam problemas estéticos relevantes nos primeiros cinco anos é aproximadamente 48,1% a 61,9%.

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