Em cada um dos seguintes casos encontre f^prime(x) e f^prime prime(x) :
Determine a derivada das seguintes funções:
f(x)=(sin (x)-1)^5001+3

Passo 1

O enunciado dá
f(x) = (sin(x)-1)^5001 + 3
e pede f'(x) e f''(x).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para obter f' e, em seguida, a regra do produto (ou cadeia de novo) para f''.

Passo 2

Defina
u = sin(x)-1,
assim
f(x) = u^5001 + 3
Aplicando a regra da cadeia,
f'(x) = ddxl(u^5001r) = 5001,u^5000,dudx
Como dudx = cos(x), vem
f'(x) = 5001,(sin(x)-1)^5000,cos(x)

Passo 3

Para f''(x), note que
f'(x) = 5001,A(x),B(x)
com
A(x) = (sin(x)-1)^5000, B(x) = cos(x)
Então use a regra do produto:
f''(x) = 5001l(A'(x),B(x) + A(x),B'(x)r)
Agora
A'(x) = 5000,(sin(x)-1)^4999,cos(x), B'(x) = -sin(x)
Substituindo,
f''(x) = 5001l[5000,(sin(x)-1)^4999cos(x)cdotcos(x) ;-;(sin(x)-1)^5000sin(x)r]

Resposta

f'(x) = 5001,(sin(x)-1)^5000,cos(x),
f''(x) = 5001l[5000,(sin(x)-1)^4999cos^2(x) - (sin(x)-1)^5000sin(x)r]

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