Construa as curvas paramétricas:
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Passo 1
Nesse exercício vamos desenhar a curva paramétrica C definida por x(t)=cos e y(t)=sen cos para t∈[0,2π]. O conteúdo aqui é curvas paramétricas e vamos precisar de identidades trigonométricas, em especial sen²t+cos²t=1 e a fórmula de ângulo duplo.
Passo 2
Para eliminar o parâmetro, começamos escrevendo y em função de t:
Agora substituímos
Como x=\cos t, podemos reescrever a equação acima puramente em termos de x:
Essa é a equação cartesiana da curva. O domínio de x vem de cos quando t percorre [0,2π], portanto x∈[−1,1].
Passo 3
Identificamos pontos notáveis variando t:
- t=0: (x,y)=(1,0)
- t=π/4: (√2/2,1/2)
- t=π/2: (0,0)
- t=3π/4:(−√2/2,−1/2)
- t=π:(−1,0)
- t=3π/2:(0,0)
- t=2π:(1,0)
Com esses pontos e a equação y²=x²(1−x²) vemos que a curva forma dois lóbulos simétricos em relação ao eixo x. À medida que t cresce de 0 a 2π, a orientação é no sentido anti-horário, passando pelas interseções com o eixo x e retornando ao ponto inicial.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
com orientação no sentido anti-horário, formando dois lóbulos simétricos em torno do eixo x.