Construa as curvas paramétricas:
(5)
lx(t)=cos t y(t)=sen t cos t

Passo 1

Nesse exercício vamos desenhar a curva paramétrica C definida por x(t)=cos e y(t)=sen cos para t∈[0,2π]. O conteúdo aqui é curvas paramétricas e vamos precisar de identidades trigonométricas, em especial sen²t+cos²t=1 e a fórmula de ângulo duplo.

Passo 2

Para eliminar o parâmetro, começamos escrevendo y em função de t:
y=sin t,cos tLongrightarrow y^2=cos^2 t,sin^2 t
Agora substituímos sin^2 t=1-cos^2 t, obtendo:
y^2=cos^2 t,(1-cos^2 t)
Como x=\cos t, podemos reescrever a equação acima puramente em termos de x:
y^2=x^2(1-x^2)
Essa é a equação cartesiana da curva. O domínio de x vem de cos quando t percorre [0,2π], portanto x∈[−1,1].

Passo 3

Identificamos pontos notáveis variando t:
  • t=0: (x,y)=(1,0)
  • t=π/4: (√2/2,1/2)
  • t=π/2: (0,0)
  • t=3π/4:(−√2/2,−1/2)
  • t=π:(−1,0)
  • t=3π/2:(0,0)
  • t=2π:(1,0)
    Com esses pontos e a equação y²=x²(1−x²) vemos que a curva forma dois lóbulos simétricos em relação ao eixo x. À medida que t cresce de 0 a 2π, a orientação é no sentido anti-horário, passando pelas interseções com o eixo x e retornando ao ponto inicial.

Resposta

A equação cartesiana da curva é
y^2 = x^2(1 - x^2), xin[-1,1],
com orientação no sentido anti-horário, formando dois lóbulos simétricos em torno do eixo x.

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