São dadas abaixo as inversas das matrizes A e B :
A^{-1}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 2 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B^{-1}=\left[\begin{array}{rr} -2 & -1 \\\\ -2 & 1 \end{array}\right] .
Calcule a solução \vec{x} do sistema linear A B \vec{x}=\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 2\end{array}\right].
O valor da primeira entrada de \vec{x} é:
(a) 2
(b) -1
(c) 1
(d) 0

Passo 1

O enunciado dá as matrizes inversas A^{-1} e B^{-1} e pede a primeira entrada do vetor solução \vec{x} do sistema
A B \vec{x}=\begin{bmatrix}-2 \\[4pt] 2\end{bmatrix}.
Informações fornecidas:
A^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 1\end{bmatrix}, \qquad B^{-1}=\begin{bmatrix}-2 & -1 \\[4pt] -2 & 1\end{bmatrix},
e o vetor do lado direito é \displaystyle\begin{bmatrix}-2 \\[4pt] 2\end{bmatrix}.
A pergunta explícita é: qual é a primeira entrada de \vec{x}? (as alternativas são (a) 2, (b) -1, (c) 1, (d) 0).]

Passo 2

Ideia útil (fórmula que vamos usar): se A e B são inversíveis, então a inversa do produto AB é
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
Explicação dessa fórmula de forma simples: a inversa é o único operador que “desfaz” a ação da matriz. Aplicando B^{-1}A^{-1} a AB temos
(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}IB=B^{-1}B=I,
logo B^{-1}A^{-1} é a inversa de AB. Aqui I é a matriz identidade (que deixa vetores iguais a si mesmos).

Passo 3

Usando a propriedade anterior, resolvemos o sistema multiplicando ambos os lados por (AB)^{-1}:
\vec{x}=(AB)^{-1}\begin{bmatrix}-2 \\[4pt] 2\end{bmatrix}=B^{-1}A^{-1}\begin{bmatrix}-2 \\[4pt] 2\end{bmatrix}.
Para calcular isso na prática, é mais simples fazer em duas etapas: primeiro calcular
\vec{y}=A^{-1}\begin{bmatrix}-2 \\[4pt] 2\end{bmatrix},
depois calcular
\vec{x}=B^{-1}\vec{y}.]

Passo 4

Calculemos \vec{y}=A^{-1}\begin{bmatrix}-2 \\[4pt] 2\end{bmatrix}.
A multiplicação de uma matriz 2\times2 por um vetor \begin{bmatrix}v_1\\\ v_2\end{bmatrix} dá um vetor cujas entradas são
\text{primeira entrada}=a_{11}v_1+a_{12}v_2,\qquad \text{segunda entrada}=a_{21}v_1+a_{22}v_2.
Aplicando com A^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 1\end{bmatrix} e \begin{bmatrix}-2 \\[4pt] 2\end{bmatrix}:
primeira entrada:
1\cdot(-2) + 1\cdot 2 = -2+2 = 0,
segunda entrada:
2\cdot(-2) + 1\cdot 2 = -4+2 = -2.
Portanto
\vec{y}=\begin{bmatrix}0 \\[4pt] -2\end{bmatrix}.]

Passo 5

Agora calculamos \vec{x}=B^{-1}\vec{y} com B^{-1}=\begin{bmatrix}-2 & -1 \\[4pt] -2 & 1\end{bmatrix} e \vec{y}=\begin{bmatrix}0 \\[4pt] -2\end{bmatrix}.
Usando a mesma fórmula de multiplicação:
primeira entrada de \vec{x}:
-2\cdot 0 + (-1)\cdot(-2) = 0 + 2 = 2,
segunda entrada de \vec{x}:
-2\cdot 0 + 1\cdot(-2) = 0 -2 = -2.
Logo
\vec{x}=\begin{bmatrix}2 \\[4pt] -2\end{bmatrix}.]

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida (só para ficar seguro): encontramos \vec{x}=\begin{bmatrix}2\\\\ -2\end{bmatrix}. A primeira entrada é \;2\;, que corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a)

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