Calcule a solução \vec{x} do sistema linear A B \vec{x}=\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 2\end{array}\right].
O valor da primeira entrada de \vec{x} é:
(a) 2
(b) -1
(c) 1
(d) 0
Passo 1
O enunciado dá as matrizes inversas A^{-1} e B^{-1} e pede a primeira entrada do vetor solução \vec{x} do sistema
A B \vec{x}=\begin{bmatrix}-2 \\[4pt] 2\end{bmatrix}.
e o vetor do lado direito é \displaystyle\begin{bmatrix}-2 \\[4pt] 2\end{bmatrix}.
A pergunta explícita é: qual é a primeira entrada de \vec{x}? (as alternativas são (a) 2, (b) -1, (c) 1, (d) 0).]
Passo 2
Ideia útil (fórmula que vamos usar): se A e B são inversíveis, então a inversa do produto AB é
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
Explicação dessa fórmula de forma simples: a inversa é o único operador que “desfaz” a ação da matriz. Aplicando B^{-1}A^{-1} a AB temos
Calculemos \vec{y}=A^{-1}\begin{bmatrix}-2 \\[4pt] 2\end{bmatrix}.
A multiplicação de uma matriz 2\times2 por um vetor \begin{bmatrix}v_1\\\ v_2\end{bmatrix} dá um vetor cujas entradas são
Agora calculamos \vec{x}=B^{-1}\vec{y} com B^{-1}=\begin{bmatrix}-2 & -1 \\[4pt] -2 & 1\end{bmatrix} e \vec{y}=\begin{bmatrix}0 \\[4pt] -2\end{bmatrix}.
Usando a mesma fórmula de multiplicação:
primeira entrada de \vec{x}:
Interpretação final e checagem rápida (só para ficar seguro): encontramos \vec{x}=\begin{bmatrix}2\\\\ -2\end{bmatrix}. A primeira entrada é \;2\;, que corresponde à alternativa (a).