Construa dois contra exemplos, em ambos dos quais f(\mathrm{z}) \rightarrow \infty e f(\mathrm{z}) g(\mathrm{z}) \rightarrow \infty com \mathrm{z} \rightarrow \mathrm{z}_{0}, porém num dos quais g(\mathrm{z}) \rightarrow 0 e no outro g(\mathrm{z}) não tem limite com \mathrm{Z} \rightarrow \mathrm{Z}_{0}.

Passo 1

O enunciado pede dois contraexemplos de funções f e g e um ponto z_{0} tais que, em ambos:
  1. \lim_{z\to z_{0}}f(z)=\infty
  2. \lim_{z\to z_{0}}f(z)\,g(z)=\infty
    No primeiro exemplo queremos ainda \lim_{z\to z_{0}}g(z)=0, e no segundo que \lim_{z\to z_{0}}g(z) não exista.

Passo 2

Definimos o primeiro contraexemplo em z_{0}=0 por
f(z)=\frac{1}{\lvert z\rvert^{2}}, \qquad g(z)=z.

Passo 3

Verificamos os limites do primeiro exemplo:
\displaystyle\lim_{z\to0}f(z)=\lim_{z\to0}\frac{1}{\lvert z\rvert^{2}}=\infty.
\displaystyle\lim_{z\to0}g(z)=\lim_{z\to0}z=0.
Para o produto temos
f(z)\,g(z) =\frac{1}{\lvert z\rvert^{2}}\;z =\frac{z}{\lvert z\rvert^{2}} =\frac{1}{\overline{z}}
e portanto
\displaystyle\lim_{z\to0}f(z)\,g(z)=\lim_{z\to0}\frac{1}{\overline{z}}=\infty
pois \bigl|1/\overline z\bigr|=1/\lvert z\rvert\to\infty.

Passo 4

Definimos o segundo contraexemplo em z_{0}=0 por
f(z)=\frac{1}{\lvert z\rvert}, \qquad g(z)=\frac{1}{z}.

Passo 5

Verificamos os limites do segundo exemplo:
\displaystyle\lim_{z\to0}f(z)=\lim_{z\to0}\frac{1}{\lvert z\rvert}=\infty.
\displaystyle f(z)\,g(z)=\frac{1}{\lvert z\rvert}\;\frac{1}{z}=\frac{1}{z\,\lvert z\rvert}
e \bigl|1/(z\lvert z\rvert)\bigr|=1/\lvert z\rvert^{2}\to\infty, logo
\displaystyle\lim_{z\to0}f(z)\,g(z)=\infty.
Por fim,
\displaystyle g(z)=1/z
não tem limite quando z\to0 porque seu argumento gira indefinidamente.

Resposta

(1) z_{0}=0, \displaystyle f(z)=\frac{1}{\lvert z\rvert^{2}}, \displaystyle g(z)=z.
(2) z_{0}=0, \displaystyle f(z)=\frac{1}{\lvert z\rvert}, \displaystyle g(z)=\frac{1}{z}.

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