Construa dois contra exemplos, em ambos dos quais f(\mathrm{z}) \rightarrow \infty e f(\mathrm{z}) g(\mathrm{z}) \rightarrow \infty com \mathrm{z} \rightarrow \mathrm{z}_{0}, porém num dos quais g(\mathrm{z}) \rightarrow 0 e no outro g(\mathrm{z}) não tem limite com \mathrm{Z} \rightarrow \mathrm{Z}_{0}.
Passo 1
O enunciado pede dois contraexemplos de funções f e g e um ponto z_{0} tais que, em ambos:
\lim_{z\to z_{0}}f(z)=\infty
\lim_{z\to z_{0}}f(z)\,g(z)=\infty
No primeiro exemplo queremos ainda \lim_{z\to z_{0}}g(z)=0, e no segundo que \lim_{z\to z_{0}}g(z) não exista.
Passo 2
Definimos o primeiro contraexemplo em z_{0}=0 por
f(z)=\frac{1}{\lvert z\rvert^{2}}, \qquad g(z)=z.
Passo 3
Verificamos os limites do primeiro exemplo: \displaystyle\lim_{z\to0}f(z)=\lim_{z\to0}\frac{1}{\lvert z\rvert^{2}}=\infty. \displaystyle\lim_{z\to0}g(z)=\lim_{z\to0}z=0.
Para o produto temos
Verificamos os limites do segundo exemplo: \displaystyle\lim_{z\to0}f(z)=\lim_{z\to0}\frac{1}{\lvert z\rvert}=\infty. \displaystyle f(z)\,g(z)=\frac{1}{\lvert z\rvert}\;\frac{1}{z}=\frac{1}{z\,\lvert z\rvert}
e \bigl|1/(z\lvert z\rvert)\bigr|=1/\lvert z\rvert^{2}\to\infty, logo \displaystyle\lim_{z\to0}f(z)\,g(z)=\infty.
Por fim, \displaystyle g(z)=1/z
não tem limite quando z\to0 porque seu argumento gira indefinidamente.