Construa dois intervalos
e
(abertos, fechados ou semiabertos) tais que:
-
-
- I não contém números racionais
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo aplicado
Queremos dois conjuntos e
, cada um sendo um intervalo (aberto, fechado ou semiaberto) tais que
Queremos dois conjuntos
-
, -
, -
não contém números racionais.
Para analisar isso, vamos usar a definição de intervalo como conjunto convexo eme o fato de que os racionais são densos em .
Passo 2
Qualquer intervalo não degenerado contém racionais
Se um intervalo contém dois pontos distintos
, então, pela densidade de
, existe um racional
com
. Logo todo intervalo que tenha comprimento positivo (isto é, dois pontos distintos) sempre contém infinitos racionais.
Se um intervalo
Passo 3
Implicação para o conjunto
Para que não contenha nenhum racional, ele não pode ser um intervalo com dois pontos distintos. Assim só restam duas possibilidades para
ser “intervalo” no sentido convexo:
Para que
-
, ou -
é singleton com irracional (que equivale ao intervalo fechado degenerate ).
Passo 4
Verificação de cada caso e impossibilidade
- Se
, então . Embora seja convexo, ele não se encaixa na forma “aberto, fechado ou semiaberto , , ou ”. - Se
com irracional, então que é união de dois intervalos, logo não é um único intervalo.
Em nenhuma das alternativas obtemos dois intervalos distintos e não vazios que separem
e satisfaçam todas as condições.
Resposta
Não existem tais intervalos
e
.