Construa dois intervalos I e J (abertos, fechados ou semiabertos) tais que:
  • I \cap J=\varnothing
  • I \cup J=(0,1)
  • I não contém números racionais

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo aplicado
Queremos dois conjuntos I e J, cada um sendo um intervalo (aberto, fechado ou semiaberto) tais que
  1. I\cap J=\varnothing,
  2. I\cup J=(0,1),
  3. I não contém números racionais.
    Para analisar isso, vamos usar a definição de intervalo como conjunto convexo em \mathbb R e o fato de que os racionais são densos em \mathbb R.

Passo 2

Qualquer intervalo não degenerado contém racionais
Se um intervalo K\subset\mathbb R contém dois pontos distintos x<y, então, pela densidade de \mathbb Q, existe um racional q com x<q<y. Logo todo intervalo que tenha comprimento positivo (isto é, dois pontos distintos) sempre contém infinitos racionais.

Passo 3

Implicação para o conjunto I
Para que I não contenha nenhum racional, ele não pode ser um intervalo com dois pontos distintos. Assim só restam duas possibilidades para I ser “intervalo” no sentido convexo:
  • I=\emptyset, ou
  • I é singleton \{\alpha\} com \alpha irracional (que equivale ao intervalo fechado degenerate [\alpha,\alpha]).

Passo 4

Verificação de cada caso e impossibilidade
  • Se I=\emptyset, então J=(0,1). Embora \emptyset seja convexo, ele não se encaixa na forma “aberto, fechado ou semiaberto (a,b), [a,b], [a,b) ou (a,b]”.
  • Se I=\{\alpha\} com \alpha irracional, então J=(0,1)\setminus\{\alpha\}=(0,\alpha)\;\cup\;(\alpha,1),que é união de dois intervalos, logo não é um único intervalo.
Em nenhuma das alternativas obtemos dois intervalos distintos e não vazios que separem (0,1) e satisfaçam todas as condições.

Resposta

Não existem tais intervalos I e J.

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