Construa o gráfico de cada função:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá\n
- Pede: construir o gráfico da função
.\n - Informação dada: a expressão da função é
.\n - O que vamos determinar para desenhar o gráfico (coisas que precisamos encontrar): domínio, imagem (range), interceptos com os eixos, assíntotas, comportamento quando
e , monotonicidade (se cresce ou decresce) e alguns pontos-chave para traçar a curva.
Passo 2
O que é logaritmo e manipulação útil\n
- Definição útil:
é o número tal que . Aqui (base positiva diferente de ).\n - Fórmula de mudança de base que vamos usar (muito prática):
, onde é o logaritmo natural.\n - Aplicando isso ao nosso caso:\n
- Como
, obtemos a forma mais simples e intuitiva:\n
Isso é muito útil: o gráfico de
é exatamente o gráfico de
refletido em relação ao eixo
(porque tem um sinal negativo à frente).
Passo 3
Domínio e imagem (range)\n
- Domínio: logaritmo só está definido para argumentos positivos, portanto\n
\n - Imagem: a função logarítmica (qualquer base
, ) atinge todos os reais ao longo de , então\n
Passo 4
Interceptos e pontos característicos (calculemos alguns valores para desenhar)\n
- Interseção com o eixo
: acontece quando . Resolva . Logo o ponto está no gráfico.\n - Não há interseção com o eixo
porque não pertence ao domínio.\n - Calcule pontos fáceis usando a forma
:\n - Para
: → ponto .\n - Para
: → ponto .\n - Para
: → ponto .\n - Para
: → ponto .\n - Para
: → ponto .\n
Esses pontos formam uma boa “espinha” para desenhar a curva.
- Para
Passo 5
Comportamento nas extremidades e assíntotas\n
- Quando
: , então . Portanto a curva sobe sem limites à medida que se aproxima de pela direita.\n - Quando
: , então . A curva desce sem limites quando cresce muito.\n - Conclusão: existe uma assíntota vertical em
(a direita de a curva tende a ).
Passo 6
Monotonicidade (por que a curva é decrescente)\n
- Observação pelo sinal: como
e é crescente, o negativo de uma função crescente é decrescente. Logo é estritamente decrescente em todo o domínio.\n - (Se quiser ver com derivada) Diferenciando
usando :\n
Como
e
, o quociente é negativo, portanto
para todo
do domínio — função decrescente.
Passo 7
Como desenhar o gráfico passo a passo (manual, na folha de prova)\n
- Desenhe os eixos
(horizontal) e (vertical). Marque claramente — haverá assíntota vertical aí.\n - Trace uma linha tracejada vertical em
para indicar a assíntota.\n - Marque e ligue os pontos calculados:
.\n - Ligue esses pontos por uma curva suave, sem cantos: a curva deve vir de
perto de , passar por e , atravessar e seguir descendo passando por , em direção a quando .\n - Opcional (transformação): em vez de desenhar do zero, pode desenhar
(curva crescente) e refletir em relação ao eixo (virar a curva de cabeça para baixo) para obter .
Passo 8
Resumo das propriedades úteis (para conferir rapidamente na prova)\n
- Domínio:
.\n - Imagem:
.\n - Assíntota vertical:
.\n - Intercepto com o eixo
: . Sem intercepto com eixo .\n - Monotonicidade: função estritamente decrescente para
.\n - Pontos para esboço:
.\n - Observação de transformação:
(reflexão de sobre o eixo ).
Resposta
Domínio:
\n
Imagem: \n
Assíntota vertical: \n
Intercepto com o eixo :
\n
Função estritamente decrescente em \n
Pontos úteis:
Imagem:
Assíntota vertical:
Intercepto com o eixo
Função estritamente decrescente em
Pontos úteis: