Construa o gráfico de cada função:
\mathrm{y}=\log _{\frac{1}{2}} x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá\n
  • Pede: construir o gráfico da função \displaystyle y=\log_{\tfrac{1}{2}}x.\n
  • Informação dada: a expressão da função é \displaystyle y=\log_{\tfrac{1}{2}}x.\n
  • O que vamos determinar para desenhar o gráfico (coisas que precisamos encontrar): domínio, imagem (range), interceptos com os eixos, assíntotas, comportamento quando x\to0^+ e x\to+\infty, monotonicidade (se cresce ou decresce) e alguns pontos-chave para traçar a curva.

Passo 2

O que é logaritmo e manipulação útil\n
  • Definição útil: \displaystyle y=\log_a x é o número y tal que a^{y}=x. Aqui a=\tfrac{1}{2} (base positiva diferente de 1).\n
  • Fórmula de mudança de base que vamos usar (muito prática): \displaystyle \log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}, onde \ln é o logaritmo natural.\n
  • Aplicando isso ao nosso caso:\n
\displaystyle y=\log_{\tfrac{1}{2}}x=\dfrac{\ln x}{\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}.
  • Como \displaystyle \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2, obtemos a forma mais simples e intuitiva:\n
\displaystyle y=\log_{\tfrac{1}{2}}x=-\dfrac{\ln x}{\ln 2}=-\log_{2}x.
Isso é muito útil: o gráfico de \displaystyle y=\log_{\tfrac{1}{2}}x é exatamente o gráfico de \displaystyle y=\log_{2}x refletido em relação ao eixo x (porque tem um sinal negativo à frente).

Passo 3

Domínio e imagem (range)\n
  • Domínio: logaritmo só está definido para argumentos positivos, portanto\n \text{Domínio} = (0,\,+\infty).í\n
  • Imagem: a função logarítmica (qualquer base >0, \neq1) atinge todos os reais ao longo de x>0, então\n \text{Imagem} = (-\infty,\;+\infty).

Passo 4

Interceptos e pontos característicos (calculemos alguns valores para desenhar)\n
  • Interseção com o eixo x: acontece quando y=0. Resolva \log_{\tfrac{1}{2}}x=0\Rightarrow x=1. Logo o ponto (1,0) está no gráfico.\n
  • Não há interseção com o eixo y porque x=0 não pertence ao domínio.\n
  • Calcule pontos fáceis usando a forma \displaystyle y=-\log_{2}x:\n
    • Para x=1: \displaystyle y=-\log_{2}1=-0=0 → ponto \left(1,0\right).\n
    • Para x=2: \displaystyle y=-\log_{2}2=-1 → ponto \left(2,-1\right).\n
    • Para x=4: \displaystyle y=-\log_{2}4=-2 → ponto \left(4,-2\right).\n
    • Para x=\tfrac{1}{2}: \displaystyle y=-\log_{2}\tfrac{1}{2}=-(-1)=1 → ponto \left(\tfrac{1}{2},1\right).\n
    • Para x=\tfrac{1}{4}: \displaystyle y=-\log_{2}\tfrac{1}{4}=-(-2)=2 → ponto \left(\tfrac{1}{4},2\right).\n
      Esses pontos formam uma boa “espinha” para desenhar a curva.

Passo 5

Comportamento nas extremidades e assíntotas\n
  • Quando x\to0^{+}: \ln x\to -\infty, então \displaystyle y=\dfrac{\ln x}{\ln(\tfrac{1}{2})}=\dfrac{\ln x}{- \ln 2}\to +\infty. Portanto a curva sobe sem limites à medida que x se aproxima de 0 pela direita.\n
  • Quando x\to +\infty: \ln x\to +\infty, então y\to -\infty. A curva desce sem limites quando x cresce muito.\n
  • Conclusão: existe uma assíntota vertical em x=0 (a direita de x=0 a curva tende a +\infty).

Passo 6

Monotonicidade (por que a curva é decrescente)\n
  • Observação pelo sinal: como \displaystyle y=-\log_{2}x e \log_{2}x é crescente, o negativo de uma função crescente é decrescente. Logo \log_{\tfrac{1}{2}}x é estritamente decrescente em todo o domínio.\n
  • (Se quiser ver com derivada) Diferenciando \displaystyle y=\log_{\tfrac{1}{2}}x usando \log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}:\n
y'=\dfrac{1}{x\ln(\tfrac{1}{2})}.
Como \ln(\tfrac{1}{2})<0 e x>0, o quociente é negativo, portanto y'<0 para todo x do domínio — função decrescente.

Passo 7

Como desenhar o gráfico passo a passo (manual, na folha de prova)\n
  1. Desenhe os eixos x (horizontal) e y (vertical). Marque x=0 claramente — haverá assíntota vertical aí.\n
  2. Trace uma linha tracejada vertical em x=0 para indicar a assíntota.\n
  3. Marque e ligue os pontos calculados: \left(\tfrac{1}{4},2\right),\;\left(\tfrac{1}{2},1\right),\;\left(1,0\right),\;\left(2,-1\right),\;\left(4,-2\right).\n
  4. Ligue esses pontos por uma curva suave, sem cantos: a curva deve vir de +\infty perto de x=0^+, passar por \left(\tfrac{1}{4},2\right) e \left(\tfrac{1}{2},1\right), atravessar (1,0) e seguir descendo passando por (2,-1), (4,-2) em direção a -\infty quando x\to+\infty.\n
  5. Opcional (transformação): em vez de desenhar do zero, pode desenhar y=\log_{2}x (curva crescente) e refletir em relação ao eixo x (virar a curva de cabeça para baixo) para obter y=\log_{\tfrac{1}{2}}x.

Passo 8

Resumo das propriedades úteis (para conferir rapidamente na prova)\n
  • Domínio: (0,\,+\infty).\n
  • Imagem: (-\infty,\,+\infty).\n
  • Assíntota vertical: x=0.\n
  • Intercepto com o eixo x: (1,0). Sem intercepto com eixo y.\n
  • Monotonicidade: função estritamente decrescente para x>0.\n
  • Pontos para esboço: \left(\tfrac{1}{4},2\right),\;\left(\tfrac{1}{2},1\right),\;\left(1,0\right),\;\left(2,-1\right),\;\left(4,-2\right).\n
  • Observação de transformação: \displaystyle \log_{\tfrac{1}{2}}x=-\log_{2}x (reflexão de \log_{2}x sobre o eixo x).

Resposta

Domínio: (0,\,+\infty)\n
Imagem: (-\infty,\,+\infty)\n
Assíntota vertical: x=0\n
Intercepto com o eixo x: (1,0)\n
Função estritamente decrescente em (0,\infty)\n
Pontos úteis: \left(\tfrac{1}{4},2\right),\;\left(\tfrac{1}{2},1\right),\;\left(1,0\right),\;\left(2,-1\right),\;\left(4,-2\right)

Exercícios relacionados