Sendo
, utilize as propriedades e calcule os logaritmos:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule
e fornece a informação conhecida
Informações relevantes que temos:
- Queremos o valor de
. - Foi dado
.
Não começarei a calcular agora; primeiro vou reunir as propriedades de logaritmo que preciso usar.
Passo 2
Breve lição-prática sobre as propriedades de logaritmos que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas).
Definição básica:
significa que
. Exemplo intuitivo:
porque
.
Propriedade 1 — produto:
Se e
, então
Se
Por quê? Seja
e
. Isso significa
e
. Então
, logo
.
Propriedade 2 — quociente:
Se e
, então
Se
Justificativa parecida: com
e
temos
, daí o log é
.
Propriedade 3 — potência:
Para qualquer real ,
Para qualquer real
Porque
implica
e o log dá
.
Essas são as únicas propriedades que vamos precisar aqui. Lembre-se: transformar um número em potência de 5 (a base do log) facilita muito.
Passo 3
Expressar
em termos de potências de
e de
. Observação numérica:
Isto é válido porque
. Além disso
, portanto
Agora aplicamos a propriedade do logaritmo do quociente e da potência:
Usando a propriedade da potência:
E por definição de logaritmo,
(pois
). Logo
Portanto
Passo 4
Substituir o valor dado
e calcular:
Fazendo a subtração com cuidado:
Posso checar mentalmente:
, está consistente.