Sendo \log _{5} 2=0,43, utilize as propriedades e calcule os logaritmos:
\log _{5} 12,5

Passo 1

O enunciado pede que se calcule \log_{5} 12,5 e fornece a informação conhecida
\log_{5} 2 = 0,43.
Informações relevantes que temos:
  • Queremos o valor de \log_{5} 12,5.
  • Foi dado \log_{5} 2 = 0,43.
    Não começarei a calcular agora; primeiro vou reunir as propriedades de logaritmo que preciso usar.

Passo 2

Breve lição-prática sobre as propriedades de logaritmos que vamos usar (explicação passo a passo, sem pular etapas).
Definição básica: \log_{b} x = y significa que b^{y} = x. Exemplo intuitivo: \log_{10} 100 = 2 porque 10^{2}=100.
Propriedade 1 — produto:
Se x>0 e y>0, então
\log_{b}(xy)=\log_{b}x+\log_{b}y.
Por quê? Seja \log_{b}x = u e \log_{b}y = v. Isso significa b^{u}=x e b^{v}=y. Então xy = b^{u}b^{v}=b^{u+v}, logo \log_{b}(xy)=u+v=\log_{b}x+\log_{b}y.
Propriedade 2 — quociente:
Se x>0 e y>0, então
\log_{b}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_{b}x-\log_{b}y.
Justificativa parecida: com x=b^{u} e y=b^{v} temos x/y=b^{u-v}, daí o log é u-v.
Propriedade 3 — potência:
Para qualquer real k,
\log_{b}\!(x^{k})=k\log_{b}x.
Porque x=b^{u} implica x^{k}=b^{uk} e o log dá uk.
Essas são as únicas propriedades que vamos precisar aqui. Lembre-se: transformar um número em potência de 5 (a base do log) facilita muito.

Passo 3

Expressar 12,5 em termos de potências de 5 e de 2. Observação numérica:
12,5=\frac{25}{2}.
Isto é válido porque 25\div2=12,5. Além disso 25=5^{2}, portanto
12,5=\frac{5^{2}}{2}.
Agora aplicamos a propriedade do logaritmo do quociente e da potência:
\log_{5}12,5=\log_{5}\!\left(\frac{5^{2}}{2}\right) =\log_{5}(5^{2})-\log_{5}2.
Usando a propriedade da potência:
\log_{5}(5^{2})=2\log_{5}5.
E por definição de logaritmo, \log_{5}5=1 (pois 5^{1}=5). Logo
\log_{5}(5^{2})=2\cdot 1=2.
Portanto
\log_{5}12,5=2-\log_{5}2.

Passo 4

Substituir o valor dado \log_{5}2=0,43 e calcular:
\log_{5}12,5=2-0,43.
Fazendo a subtração com cuidado:
2,00-0,43=1,57.
Posso checar mentalmente: 0,43+1,57=2,00, está consistente.

Resposta

\,1,57

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