Um medicamento tem como dosagem básica 0,5 \mathrm{~g}. Sabe-se que a permanência média (ou decaimento) deste medicamento no corpo de um paciente obedece a expressão: \mathrm{Q}(\mathrm{t})=0,5 \cdot(0,9)^{\mathrm{t}}. Por quanto tempo o corpo de um paciente manterá um mínimo de 0,25 \mathrm{~g} deste medicamento?
Utilize os seguintes valores para log t :
\underline{\boldsymbol{t}} 2 3 4 5 6 7 8 9
\log t 0,301 0,477 0,602 0,699 0,778 0,845 0,903 0,954
A) Oh 18 min
B) 6 h 30 min
C) 12 h 00 min
D) 13 h 05 min
E) 19 h 36 min

Passo 1

O enunciado pede: determinar por quanto tempo o corpo mantém, no mínimo, 0,25\\ \text{g} do medicamento cuja quantidade no tempo t é dada por
Q(t)=0,5\cdot(0,9)^{t}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Dosagem inicial (em t=0): Q(0)=0,5\\ \text{g}.
  • Função de decaimento: Q(t)=0,5\cdot(0,9)^{t}.
  • Limite mínimo pedido: Q(t)\ge 0,25\\ \text{g}. Precisamos achar o tempo t até que Q(t) fique igual a 0,25\\ \text{g} (quando atinge o mínimo).
  • Tabela de \log t (interpreta-se como \log_{10}) com valores para inteiros 2 a 9. Da tabela, extraímos os valores: \log 5=0,699 e \log 9=0,954 (esses virão úteis para calcular \log 0,5 e \log 0,9).

Passo 2

Escrever a equação correspondente ao instante em que a quantidade atinge 0,25\\ \text{g}:
0,5\cdot(0,9)^{t}=0,25.
Explicação: estamos igualando Q(t) ao mínimo pedido para encontrar o tempo em que o medicamento decai até esse valor. A partir daí isolamos a potência.

Passo 3

Isolar (0,9)^{t}:
(0,9)^{t}=\frac{0,25}{0,5}.
Calcular a razão:
\frac{0,25}{0,5}=0,5,
logo
(0,9)^{t}=0,5.

Passo 4

Aplicar logaritmo (base 10, conforme tabela) nos dois lados para trazer o expoente t para frente, usando a propriedade \log(a^{b})=b\log a:
\log\big((0,9)^{t}\big)=\log(0,5)\quad\Rightarrow\quad t\cdot\log(0,9)=\log(0,5).
Portanto
t=\frac{\log(0,5)}{\log(0,9)}.
Explicação didática: esse é o procedimento padrão para resolver equações exponenciais quando o expoente é desconhecido — aplicamos log em ambos os lados e usamos a propriedade que move o expoente para fator multiplicativo.

Passo 5

Calcular \log(0,5) e \log(0,9) usando a tabela e propriedades de logaritmo simples:
  • \log(0,5)=\log\!\big(\tfrac{5}{10}\big)=\log 5-\log 10=\log 5-1. Da tabela \log 5=0,699, logo
\log(0,5)=0,699-1=-0,301.
  • \log(0,9)=\log\!\big(\tfrac{9}{10}\big)=\log 9-\log 10=\log 9-1. Da tabela \log 9=0,954, logo
\log(0,9)=0,954-1=-0,046.

Passo 6

Substituir esses valores na fórmula para t:
t=\frac{-0,301}{-0,046}=\frac{0,301}{0,046}.
Efetuando a divisão (mostrando a conta aproximada):
0,046\cdot 6=0,276,\qquad 0,046\cdot 6,5=0,299,\qquad 0,046\cdot 6,543\approx 0,301.
Portanto
t\approx 6,543\\ \text{horas}.
Explicação: a divisão foi feita com aproximações razoáveis; o resultado mais preciso é t\approx6,543.

Passo 7

Converter a parte fracionária de horas em minutos para ficar num formato horário:
0,543\\ \text{horas}=0,543\times 60\\ \text{min}=32,58\\ \text{min}\approx 32\\ \text{min}\\\ 35\\ \text{s}.
Arredondando para minutos, t\approx 6\\ \text{h}\\\ 33\\ \text{min} (aproximação). Note que entre as alternativas fornecidas, a que mais se aproxima é 6\\ \text{h}\\\ 30\\ \text{min}.

Passo 8

Interpretação final para a prova: o corpo mantém pelo menos 0,25\\ \text{g} do medicamento durante aproximadamente 6,54 horas, ou cerca de 6 horas e 33 minutos. Como as alternativas são discretas, escolhe-se a mais próxima.

Resposta

B)\\\ 6\\ \text{h}\\\ 30\\ \text{min}

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