Construa o gráfico do cone dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
-\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+z^{2}=0.

Passo 1

O enunciado pede para estudar e desenhar a superfície dada por
-\,\frac{x^{2}}{4} \;+\;\frac{y^{2}}{9}\;+\;z^{2}\;=\;0
ou seja, construir o gráfico do cone correspondente e analisar seus traços nas seções por planos coordenados. Para isso vamos identificar o tipo de quádricas, achar as interseções com os planos x=0, y=0 e z=0, e também com planos x=\text{constante}, de modo a visualizar a abertura do cone.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma canônica:
-\,\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} + z^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{4} \;=\;\frac{y^{2}}{9}\;+\;z^{2}.
Isso mostra uma superfície homogênea de segundo grau, sem termos lineares, cuja forma é de um “cone duplo” (porque não há termos de grau 1 nem termos independentes) com vértice na origem.

Passo 3

Traços nos planos coordenados:
Plano x=0:
\frac{0}{4} = \frac{y^{2}}{9} + z^{2} \;\Longrightarrow\; \frac{y^{2}}{9} + z^{2} = 0
só admite y=0 e z=0. É a reta degenerada (apenas o ponto (0,0,0)).
Plano y=0:
\frac{x^{2}}{4} = 0 + z^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2} = 4\,z^{2} \;\Longrightarrow\; x = \pm 2\,z.
São duas retas no plano y=0 (eixo xz): x=2z e x=-2z.
Plano z=0:
\frac{x^{2}}{4} = \frac{y^{2}}{9} + 0 \;\Longrightarrow\; 9\,x^{2} = 4\,y^{2} \;\Longrightarrow\; y = \pm \frac{3}{2}\,x.
São duas retas no plano z=0 (eixo xy): y=\tfrac{3}{2}x e y=-\tfrac{3}{2}x.

Passo 4

Traços em planos x = x_{0} (com x_{0}\neq0):
\frac{x_{0}^{2}}{4} = \frac{y^{2}}{9} + z^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{9\,(x_{0}^{2}/4)} \;+\;\frac{z^{2}}{(x_{0}^{2}/4)} \;=\;1.
Para cada x_{0}\neq0 aparece uma elipse de semi-eixos \tfrac{3|x_{0}|}{2} em y e \tfrac{|x_{0}|}{2} em z. À medida que |x_{0}| cresce, as elipses vão aumentando, confirmando a forma de cone.

Passo 5

Gráfico do cone:
  • Vértice na origem (0,0,0).
  • Eixo principal ao longo de x.
  • Geratrizes (retas que geram o cone) nas direções
    \,(y= \pm\tfrac{3}{2}x,\;z=0) e \,(y=0,\;x=\pm2z).
  • Para x>0 formam-se elipses crescentes; idem para x<0.
    Isso caracteriza um cone duplo de seção transversal elíptica, simétrico em relação ao eixo x.

Resposta

O gráfico é um cone duplo com vértice na origem e eixo no eixo x, cujas geratrizes são as retas
y = \pm \tfrac{3}{2}\,x,\;z=0 \quad\text{e}\quad x = \pm 2\,z,\;y=0,
e cujas seções por x=x_{0} x_{0}\neq0 são elipses de semi-eixos \tfrac{3|x_{0}|}{2} e \tfrac{|x_{0}|}{2}.

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