Construa o gráfico do cone dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar e desenhar a superfície dada por
ou seja, construir o gráfico do cone correspondente e analisar seus traços nas seções por planos coordenados. Para isso vamos identificar o tipo de quádricas, achar as interseções com os planos
,
e
, e também com planos
, de modo a visualizar a abertura do cone.
Passo 2
Reescrevendo a equação em forma canônica:
Isso mostra uma superfície homogênea de segundo grau, sem termos lineares, cuja forma é de um “cone duplo” (porque não há termos de grau 1 nem termos independentes) com vértice na origem.
Passo 3
Traços nos planos coordenados:
Plano :
Plano
só admite
e
. É a reta degenerada (apenas o ponto
).
Plano
:
São duas retas no plano
(eixo
):
e
.
Plano
:
São duas retas no plano
(eixo
):
e
.
Passo 4
Traços em planos
(com
):
Para cada
aparece uma elipse de semi-eixos
em
e
em
. À medida que
cresce, as elipses vão aumentando, confirmando a forma de cone.
Passo 5
Gráfico do cone:
- Vértice na origem
. - Eixo principal ao longo de
. - Geratrizes (retas que geram o cone) nas direções
e . - Para
formam-se elipses crescentes; idem para .
Isso caracteriza um cone duplo de seção transversal elíptica, simétrico em relação ao eixo.
Resposta
O gráfico é um cone duplo com vértice na origem e eixo no eixo
, cujas geratrizes são as retas
e cujas seções por
são elipses de semi-eixos
e
.