Construa o gráfico do cone dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{2}}-z^{2}=0.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da superfície quádrupla dada por
\frac{x^{2}}{\tfrac{1}{4}} \;+\;\frac{y^{2}}{\tfrac{1}{2}}\;-\;z^{2}\;=\;0
ou seja, identificar que tipo de quadriculada é e estudar seus traços (interseções com planos coordenados e planos z=k). Para isso precisamos:
  1. Colocar a equação em forma mais simples.
  2. Analisar cortes horizontais z=k.
  3. Analisar cortes verticais em planos x=0, y=0 (e, se desejar, planos gerais que contenham o eixo z).
  4. Concluir que se trata de um cone duplo e descrever seu gráfico.

Passo 2

Vamos simplificar a equação original multiplicando cada termo pelo MMC dos denominadores, que é 4:
4\Bigl(\frac{x^2}{\tfrac14}\Bigr) + 4\Bigl(\frac{y^2}{\tfrac12}\Bigr) -4\,z^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4\cdot4x^2 + 4\cdot2y^2 -4z^2=0
\Longrightarrow\quad 16x^2 +8y^2 -4z^2 =0 \quad\Longrightarrow\quad 4x^2 +2y^2 - z^2 =0.
Reescrevendo, isolamos z^2:
z^2 = 4x^2 + 2y^2 \quad\Longrightarrow\quad z = \pm\sqrt{4x^2 + 2y^2}.
Isso já indica uma superfície tipo cone duplo com vértice na origem e eixo ao longo de z.

Passo 3

Traços horizontais ( z=k, k constante):
\text{para }z=k\neq0:\quad 4x^2 + 2y^2 = k^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{k^2/4} + \frac{y^2}{k^2/2} =1,
que são elipses centradas na origem, com semi-eixos \,a=\tfrac{|k|}{2} na direção x e \,b=\tfrac{|k|}{\sqrt{2}} na direção y.
Para k=0 a seção é 4x^2+2y^2=0, ou seja só o ponto (0,0,0).

Passo 4

Traços verticais em planos coordenados:
  • Plano y=0: a equação fica
4x^2 - z^2 =0 \quad\Longrightarrow\quad z = \pm2x,
duas retas no plano x\!z.
  • Plano x=0: a equação fica
2y^2 - z^2 =0 \quad\Longrightarrow\quad z = \pm \sqrt{2}\,y,
duas retas no plano y\!z.
Em qualquer plano que contenha o eixo z (reta x\!=\!0, y\!=\!0 variável ou combinação linear), os traços são sempre pares de retas passando pela origem, mostrando claramente a formação do cone duplo.

Passo 5

Como z = \pm\sqrt{4x^2+2y^2}, concluímos que a superfície é um cone duplo (duas napas), vértice em (0,0,0), eixo principal ao longo de z, e seção transversal em z=k uma elipse cujos semi-eixos crescem linearmente com |k|.

Passo 6

Descrição do gráfico:
  • Vértice na origem.
  • Duas napas simétricas em relação ao plano z=0: uma abre para z>0, outra para z<0.
  • Cada corte z=k é uma elipse de semi-eixos \tfrac{|k|}{2} e \tfrac{|k|}{\sqrt{2}}.
  • Nos planos coordenados x=0 ou y=0 aparecem pares de retas, reforçando que cada “meridiano” do cone é uma reta passando pelo vértice.

Resposta

O gráfico é um cone duplo de equação
z = \pm\sqrt{4x^2 + 2y^2},
com vértice em (0,0,0), eixo coincide com o eixo z, cortes horizontais elípticos e traços verticais em planos coordenados formam retas através da origem.

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