Construa o gráfico do cone dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede para construirmos o gráfico da superfície quádrupla dada por
ou seja, identificar que tipo de quadriculada é e estudar seus traços (interseções com planos coordenados e planos
). Para isso precisamos:
- Colocar a equação em forma mais simples.
- Analisar cortes horizontais
. - Analisar cortes verticais em planos
, (e, se desejar, planos gerais que contenham o eixo ). - Concluir que se trata de um cone duplo e descrever seu gráfico.
Passo 2
Vamos simplificar a equação original multiplicando cada termo pelo MMC dos denominadores, que é
:
Reescrevendo, isolamos
:
Isso já indica uma superfície tipo cone duplo com vértice na origem e eixo ao longo de
.
Passo 3
Traços horizontais (
,
constante):
que são elipses centradas na origem, com semi-eixos
na direção
e
na direção
.
Para a seção é
, ou seja só o ponto
.
Para
Passo 4
Traços verticais em planos coordenados:
- Plano
: a equação fica
duas retas no plano
.
- Plano
: a equação fica
duas retas no plano
.
Em qualquer plano que contenha o eixo (reta
,
variável ou combinação linear), os traços são sempre pares de retas passando pela origem, mostrando claramente a formação do cone duplo.
Em qualquer plano que contenha o eixo
Passo 5
Como
, concluímos que a superfície é um cone duplo (duas napas), vértice em
, eixo principal ao longo de
, e seção transversal em
uma elipse cujos semi-eixos crescem linearmente com
.
Passo 6
Descrição do gráfico:
- Vértice na origem.
- Duas napas simétricas em relação ao plano
: uma abre para , outra para . - Cada corte
é uma elipse de semi-eixos e . - Nos planos coordenados
ou aparecem pares de retas, reforçando que cada “meridiano” do cone é uma reta passando pelo vértice.
Resposta
O gráfico é um cone duplo de equação
com vértice em
, eixo coincide com o eixo
, cortes horizontais elípticos e traços verticais em planos coordenados formam retas através da origem.