Construa o gráfico do cone dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{100}+\frac{z^{2}}{25}=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de equação
\frac{x^{2}}{64} \;-\;\frac{y^{2}}{100}\;+\;\frac{z^{2}}{25}\;=\;0,
que é um caso particular de quádricas do tipo cone duplo. Para resolver, vamos trazer essa equação a uma forma padrão e estudar os traços nos planos coordenados e em planos paralelos aos eixos, identificando retas, elipses e hipérboles que aparecem.

Passo 2

Reorganizando a equação, escrevemos
\frac{x^{2}}{64} \;+\;\frac{z^{2}}{25}\;=\;\frac{y^{2}}{100}.
Isso mostra que, para cada valor de y, a seção transversal no plano y=\text{constante} é dada por
\frac{x^{2}}{64}+\frac{z^{2}}{25}=\frac{y^{2}}{100},
o que é uma elipse (quando y\neq0) ou um ponto (quando y=0). Como a mesma equação vale para y positivo e negativo, temos um cone duplo com eixo ao longo de Oy.

Passo 3

Traços com os planos coordenados:
  • Plano x=0: a equação fica
-\frac{y^{2}}{100}+\frac{z^{2}}{25}=0\quad\Longrightarrow\quad\frac{z^{2}}{25}=\frac{y^{2}}{100}\quad\Longrightarrow\quad z=\pm\frac{y}{2}.
Assim, o traço em x=0 é o par de retas z=\tfrac12\,y e z=-\tfrac12\,y.
  • Plano y=0: substituindo, vem
\frac{x^{2}}{64}+\frac{z^{2}}{25}=0
que só admite a solução x=0 e z=0. Logo o traço é o ponto na origem.
  • Plano z=0: obtemos
\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{100}=0\quad\Longrightarrow\quad\frac{x^{2}}{64}=\frac{y^{2}}{100}\quad\Longrightarrow\quad y=\pm\frac{5}{4}\,x.
Aqui o traço em z=0 é o par de retas y=\tfrac54\,x e y=-\tfrac54\,x.

Passo 4

Traços em planos paralelos a xy, isto é, y=k com k\neq0:
\frac{x^{2}}{64}+\frac{z^{2}}{25}=\frac{k^{2}}{100},
que é uma elipse de semi‐eixos a=8\,\bigl|k\bigr|/10=4k/5 em x e b=5\,\bigl|k\bigr|/10=k/2 em z. No caso k=0, a elipse colapsa no ponto (0,0,0).

Passo 5

Traços em planos paralelos a yz ou xz:
  • Plano x=k:
-\frac{y^{2}}{100}+\frac{z^{2}}{25}=-\frac{k^{2}}{64}\quad\Longrightarrow\quad\frac{z^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{100}=\frac{k^{2}}{64},
que é uma hipérbole para todo k\neq0.
  • Plano z=k:
\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{100}=-\frac{k^{2}}{25}\quad\Longrightarrow\quad\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{100}=-\frac{k^{2}}{25},
também uma hipérbole sempre que k\neq0.

Passo 6

Concluímos que a superfície é um cone duplo, simétrico em relação à origem, cujo eixo central é o eixo Oy. As geratrizes são dadas pelas retas que encontrámos nos traços em x=0 e z=0, e as seções transversais horizontais ( y= constante) são elipses.

Resposta

A superfície é um cone duplo com eixo ao longo de Oy, definido por
\frac{x^{2}}{64}+\frac{z^{2}}{25}=\frac{y^{2}}{100}.
Traços relevantes:
  • Em x=0: retas z=\pm\tfrac12\,y.
  • Em y=0: ponto (0,0,0).
  • Em z=0: retas y=\pm\tfrac54\,x.
  • Em y=k\neq0: elipse \tfrac{x^{2}}{64}+\tfrac{z^{2}}{25}=\tfrac{k^{2}}{100}.
  • Em x=k ou z=k: hipérboles.

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