Construa o gráfico do cone dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
x^{2}+y^{2}-z^{2}=0.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a superfície em \mathbb{R}^3 dada por
x^{2}+y^{2}-z^{2}=0
e para isso vamos estudar as suas traços, ou seja, as seções dessa superfície por planos coordenados. Vamos precisar de conceitos de seção horizontal z=k e seções verticais x=0 e y=0, além de reconhecer a forma geral de um cone duplo.

Passo 2

Seção horizontal: fixamos z=k. Então a equação se torna
x^{2}+y^{2}-k^{2}=0
ou seja
x^{2}+y^{2}=k^{2}.
Para k\neq 0 isso é um círculo de raio \lvert k\rvert no plano z=k. Para k=0 reduz a x^{2}+y^{2}=0, que é apenas o ponto (0,0,0).

Passo 3

Seção vertical no plano y=0: substituindo y=0 obtemos
x^{2}-z^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad z^{2}=x^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad z=\pm x.
São duas retas que passam pela origem, no plano y=0. De modo análogo, no plano x=0 surge
y^{2}-z^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad z=\pm y,
duas retas no plano x=0.

Passo 4

A partir das seções podemos resolver para z em função de (x,y):
z^{2}=x^{2}+y^{2} \quad\Longrightarrow\quad z=\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Isso mostra que a superfície é a união de duas “nappes” cônicas: uma para z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (parte superior) e outra para z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}} (parte inferior).

Passo 5

Geometricamente trata-se de um cone circular reto de revolução, com vértice na origem e eixo no eixo z. A geratriz faz um ângulo de 45^\circ com o plano xy, pois sempre vale
\tan\theta=\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1.

Resposta

A superfície x^{2}+y^{2}-z^{2}=0 é um cone duplo de revolução com vértice na origem, eixo ao longo de OZ e sem abertura (meio-ângulo) de 45^\circ.

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