Reduza cada uma das equações à forma padrão da equação de um cone e faça um esboço da superfície.
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e pede para reduzi-la à forma padrão de um cone e esboçar a superfície. O conteúdo aqui é a classificação de superfícies quádricas, em particular cones duplos (duas nappes) com vértice na origem.
Passo 2
Reagrupando todos os termos num mesmo lado, temos
Esta é uma equação homogênea de segundo grau em
, típica de um cone quádruplo com vértice na origem.
Passo 3
Para obter a forma padrão, escrevemos
Esta é exatamente a equação de um cone circular duplo de revolução em torno do eixo
, com abertura de
. Cada seção por um plano
é um círculo de raio
.
Passo 4
Esboço da superfície:
- O vértice fica em
. - Para
, a superfície é o “napa” superior do cone; para , o “napa” inferior. - Em planos
obtemos as geratrizes ; em , as geratrizes .
Assim, é um cone duplo com eixo verticale semi-ângulo de .
Resposta
Forma padrão:
cone circular duplo de revolução em torno do eixo
com vértice na origem e semi-ângulo de
.