Reduza cada uma das equações à forma padrão da equação de um cone e faça um esboço da superfície.
x^{2}=z^{2}-y^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por
x^{2} = z^{2} - y^{2}
e pede para reduzi-la à forma padrão de um cone e esboçar a superfície. O conteúdo aqui é a classificação de superfícies quádricas, em particular cones duplos (duas nappes) com vértice na origem.

Passo 2

Reagrupando todos os termos num mesmo lado, temos
z^{2} - y^{2} - x^{2} = 0.
Esta é uma equação homogênea de segundo grau em x,y,z, típica de um cone quádruplo com vértice na origem.

Passo 3

Para obter a forma padrão, escrevemos
z^{2} = x^{2} + y^{2}.
Esta é exatamente a equação de um cone circular duplo de revolução em torno do eixo z, com abertura de 45^\circ. Cada seção por um plano z = \text{constante} é um círculo de raio \lvert z\rvert.

Passo 4

Esboço da superfície:
  • O vértice fica em (0,0,0).
  • Para z>0, a superfície é o “napa” superior do cone; para z<0, o “napa” inferior.
  • Em planos y=0 obtemos as geratrizes z=\pm x; em x=0, as geratrizes z=\pm y.
    Assim, é um cone duplo com eixo vertical z e semi-ângulo de 45^\circ.

Resposta

Forma padrão:
z^{2} = x^{2} + y^{2},
cone circular duplo de revolução em torno do eixo z com vértice na origem e semi-ângulo de 45^\circ.

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