Construa o gráfico do cone dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a superfície em
dada por
e para isso vamos estudar as suas traços, ou seja, as seções dessa superfície por planos coordenados. Vamos precisar de conceitos de seção horizontal
e seções verticais
e
, além de reconhecer a forma geral de um cone duplo.
Passo 2
Seção horizontal: fixamos
. Então a equação se torna
ou seja
Para
isso é um círculo de raio
no plano
. Para
reduz a
, que é apenas o ponto
.
Passo 3
Seção vertical no plano
: substituindo
obtemos
São duas retas que passam pela origem, no plano
. De modo análogo, no plano
surge
duas retas no plano
.
Passo 4
A partir das seções podemos resolver para
em função de
:
Isso mostra que a superfície é a união de duas “nappes” cônicas: uma para
(parte superior) e outra para
(parte inferior).
Passo 5
Geometricamente trata-se de um cone circular reto de revolução, com vértice na origem e eixo no eixo
. A geratriz faz um ângulo de
com o plano
, pois sempre vale
Resposta
A superfície
é um cone duplo de revolução com vértice na origem, eixo ao longo de
e sem abertura (meio-ângulo) de
.