Construa o gráfico da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada pela lei:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}\cos x, \text { para } x \leqslant 0 \\\\ 2^{x}, \text { para } x>0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)= \begin{cases} \cos x,&x\le 0,\\\\ 2^x,&x>0. \end{cases}
Queremos desenhar o gráfico dessa função em um mesmo sistema de eixos. O conteúdo é traçar curvas conhecidas (cosseno e exponencial) em domínios separados e juntar tudo.

Passo 2

Para x\le0, temos y=\cos x. Essa é a curva padrão de cosseno, que oscila entre -1 e 1 com período 2\pi. Como só usamos x\le0, basta plotar o ramo à esquerda do eixo y, incluindo o ponto em x=0. Pontos importantes nesse ramo:
x=0\mapsto \cos0=1,\quad x=-\tfrac{\pi}{2}\mapsto 0,\quad x=-\pi\mapsto -1,\quad x=-\tfrac{3\pi}{2}\mapsto 0,\;\dots

Passo 3

Para x>0, temos y=2^x. É uma função exponencial crescente, que se aproxima de zero quando x\to-\infty, mas como só vale para x>0, o comportamento relevante é:
\lim_{x\to0^+}2^x=1,\quad 2^1=2,\quad 2^2=4,\;\dots
Devemos desenhar essa curva para x>0, sem incluir o ponto em x=0.

Passo 4

Analisando a junção em x=0:
  • No ramo do cosseno temos um ponto fechado (0,1) porque f(0)=\cos0=1.
  • No ramo exponencial, em x\to0^+ chegamos a 1, mas f não está definido por 2^x em x=0, então representamos um círculo aberto em (0,1) para o ramo 2^x.

Passo 5

Agora desenhamos tudo num mesmo sistema de eixos:
  1. Trace o ramo de \cos x para x\le0, incluindo o ponto fechado (0,1).
  2. Trace o ramo de 2^x para x>0, desenhando um círculo aberto em (0,1), e passe pelos pontos (1,2), (2,4), etc.
  3. Marque claramente o preenchimento (ramo do cosseno) e o círculo aberto (ramo exponencial) em x=0.

Resposta

O gráfico é dado pelo ramo de y=\cos x para x\le0 (incluindo (0,1)) e pelo ramo de y=2^x para x>0 (com círculo aberto em (0,1)).

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