Construa os gráficos das seguintes funções definidas em \mathbb{R} :
f_{6}(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 x+1, \text { se } x \leqslant 0 \\\ x^{2}+1, \text { se } x>0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f_{6}(x)= \begin{cases} x^{2}+2x+1, & x\le 0,\\\ x^{2}+1, & x>0. \end{cases}
O conteúdo é gráfico de funções polinomiais (parábolas) em domínios distintos. Para resolver, vamos estudar cada ramo separadamente, identificar vértices, pontos notáveis e o comportamento em x=0.

Passo 2

Para x\le0 temos
f_{6}(x)=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Esta é uma parábola com vértice em (-1,0), concavidade para cima, único zero em x=-1 e, em x=0, entrega
f_{6}(0)=0^{2}+2\cdot0+1=1.
Ou seja, para o ramo da esquerda desenhamos a metade esquerda da parábola (x+1)^{2}, incluindo o ponto (0,1).

Passo 3

Para x>0 temos
f_{6}(x)=x^{2}+1.
Esta é a parábola padrão x^{2} deslocada 1 unidade para cima. Seu vértice está em (0,1), mas como vale só para x>0, desenhamos o ramo direito dessa parábola, começando em x ligeiramente positivo e subindo simetricamente.

Passo 4

Em x=0 o ramo da esquerda inclui o ponto (0,1) (círculo cheio). O ramo da direita não inclui (0,1), pois vale só para x>0 (círculo aberto em (0,1)). Como há o preenchimento pelo ramo esquerdo, a função é contínua em x=0, mas muda a inclinação.

Passo 5

Agora combinamos:
  • Para x\le0, metade esquerda da parábola (x+1)^{2} com vértice em (-1,0) e ponto (0,1) sólido.
  • Para x>0, metade direita da parábola x^{2}+1 com vértice em (0,1) (círculo aberto) subindo para +\infty.

Resposta

O gráfico de f_{6} é formado por:
(a) a parte de y=(x+1)^{2} para x\le0, vértice em (-1,0) e ponto (0,1) sólido;
(b) a parte de y=x^{2}+1 para x>0, iniciando em um ponto aberto (0,1) e abrindo para cima.

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