Construa o gráfico das funções abaixo e determine seu Domínio e Imagem. f(x)=|1-2 x|
Passo 1
O enunciado nos pede para construir o gráfico da função
f(x)=|1-2x|
e determinar seu domínio e sua imagem.
O conteúdo que vamos usar envolve a definição de valor absoluto como função a pedaços, identificação do vértice da “V” e análise de domínio e imagem de funções reais.
Passo 2
Para desenhar o gráfico, reescrevemos f\) em forma piecewise usando
\[|u| = \begin{cases} u, & u\ge0,\\\\ -u, & u<0. \end{cases}
Aqui (u=1-2x]. Então f(x)=|1-2x|= \begin{cases} 1-2x, & 1-2x\ge0\\ (\text{ou seja }x\le\tfrac12),\\\\ -(1-2x)=2x-1, & 1-2x<0\\ (\text{ou seja }x>\tfrac12). \end{cases}
Passo 3
O gráfico de f é uma “V” com vértice em x=\tfrac12, onde 1-2x=0 e f(\tfrac12)=0.
Para x\le\tfrac12, f(x)=1-2x é reta decrescente de inclinação -2.
Para x\ge\tfrac12, f(x)=2x-1 é reta crescente de inclinação 2.
Em x=\tfrac12 as duas retas se encontram no ponto \bigl(\tfrac12,0\bigr), sem descontinuidade.
Passo 4
O domínio de f é o conjunto de todos os x em que |1-2x| está bem definido como número real, isto é \mathbb{R}.
A imagem de f são todos os valores y que a “V” atinge; como valor absoluto nunca cai abaixo de zero, o mínimo é 0 e não há teto superior, logo a imagem é [0,\infty).