Construa o gráfico das funções abaixo e determine seu Domínio e Imagem.
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico da função
e determinar seu domínio e sua imagem.
Conteúdo: funções definidas por partes, domínio e imagem. Vamos precisar saber o domínio de cada ramo e o comportamento de e de
.
Conteúdo: funções definidas por partes, domínio e imagem. Vamos precisar saber o domínio de cada ramo e o comportamento de
Passo 2
Determine o domínio de
.
O ramo está definido para todo
.
O ramo está definido para todo
.
Não há definição em .
Portanto o domínio de é
O ramo
O ramo
Não há definição em
Portanto o domínio de
Passo 3
Analise e descreva o gráfico para
:
.
Essa é uma senóide com amplitude e deslocamento vertical de
.
Essa é uma senóide com amplitude
- O eixo médio fica em
. - A amplitude leva o valor mínimo a
e o máximo a . - O período é
.
Pararepetimos esse padrão infinito vezes à esquerda, sem incluir .
Ao nos aproximarmos depor valores negativos, , mas a circunferência em fica aberta.
Passo 4
Analise e descreva o gráfico para
:
.
Essa é uma curva exponencial crescente.
Essa é uma curva exponencial crescente.
- Em
temos , com círculo aberto em . - Para
, .
Passo 5
Calcule a imagem do ramo
,
.
Sabendo que ,
Sabendo que
Como o ramo atinge ambos os extremos em vários
, a imagem desse ramo é
.
Passo 6
Calcule a imagem do ramo
,
.
Temos
Temos
Portanto a imagem desse ramo é
.
Passo 7
Obtenha a imagem total de
como união das imagens dos dois ramos:
Como
pertence já ao intervalo
, a união fica
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: para , senóide
(amplitude 2, deslocada para cima 1), com ponto aberto em
; para
, exponencial
iniciando em círculo aberto em
e crescendo indefinidamente.
Imagem:
Gráfico: para