Construa o gráfico das funções abaixo e determine seu Domínio e Imagem.
f(x)= \begin{cases}2 \operatorname{sen}(x)+1, & x<0 \\\ \exp (x-1), & x>0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função
f(x)= \begin{cases} 2\operatorname{sen}(x)+1, & x<0,\\\ \exp(x-1), & x>0, \end{cases}
e determinar seu domínio e sua imagem.
Conteúdo: funções definidas por partes, domínio e imagem. Vamos precisar saber o domínio de cada ramo e o comportamento de 2\operatorname{sen}(x)+1 e de \exp(x-1).

Passo 2

Determine o domínio de f.
O ramo 2\operatorname{sen}(x)+1 está definido para todo x<0.
O ramo \exp(x-1) está definido para todo x>0.
Não há definição em x=0.
Portanto o domínio de f é
(-\infty,0)\,\cup\,(0,\infty).

Passo 3

Analise e descreva o gráfico para x<0: y=2\operatorname{sen}(x)+1.
Essa é uma senóide com amplitude 2 e deslocamento vertical de +1.
  • O eixo médio fica em y=1.
  • A amplitude leva o valor mínimo a 1-2=-1 e o máximo a 1+2=3.
  • O período é 2\pi.
    Para x<0 repetimos esse padrão infinito vezes à esquerda, sem incluir x=0.
    Ao nos aproximarmos de 0 por valores negativos, 2\operatorname{sen}(x)+1\to1, mas a circunferência em (0,1) fica aberta.

Passo 4

Analise e descreva o gráfico para x>0: y=\exp(x-1).
Essa é uma curva exponencial crescente.
  • Em x\to0^+ temos y\to e^{-1}\approx0,3679, com círculo aberto em \bigl(0,e^{-1}\bigr).
  • Para x\to\infty, y\to\infty.

Passo 5

Calcule a imagem do ramo 2\operatorname{sen}(x)+1, x<0.
Sabendo que \operatorname{sen}(x)\in[-1,1],
2\operatorname{sen}(x)+1\in[2\cdot(-1)+1,\;2\cdot1+1]=[-1,3].
Como o ramo atinge ambos os extremos em vários x<0, a imagem desse ramo é [-1,3].

Passo 6

Calcule a imagem do ramo \exp(x-1), x>0.
Temos
\lim_{x\to0^+}\exp(x-1)=e^{-1}, \qquad \lim_{x\to\infty}\exp(x-1)=\infty.
Portanto a imagem desse ramo é \bigl(e^{-1},\infty\bigr).

Passo 7

Obtenha a imagem total de f como união das imagens dos dois ramos:
[-1,3]\;\cup\;\bigl(e^{-1},\infty\bigr).
Como e^{-1}\approx0,3679 pertence já ao intervalo [-1,3], a união fica
[-1,\infty).

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty)
Imagem: [-1,\infty)
Gráfico: para x<0, senóide 2\operatorname{sen}(x)+1 (amplitude 2, deslocada para cima 1), com ponto aberto em (0,1); para x>0, exponencial \exp(x-1) iniciando em círculo aberto em \bigl(0,e^{-1}\bigr) e crescendo indefinidamente.

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